1a) Végezzünk el egy kis átalakítást:

(x-3)⁴+2*(x²-6x)+23=0, teljes négyzetté alakítunk:

(x-3)⁴+2*((x-3)²-9)+23=0, kibontjuk a külső zárójelet:

(x-3)⁴+2*(x-3)²-18+23=0, végül összevonunk:

(x-3)⁴+2*(x-3)²+5=0

(x-3)⁴ értéke biztos, hogy legalább 0, ugyanez igaz 2*(x-3)² értékére, 5 értéke pedig 5, ez azt jelenti, hogy a bal oldal értéke nem lehet 5-nél kevesebb, tehát 0 sem, így az egyenletnek nincs valós megoldása, tehát az állítás igaz.

b) Mivel egész számokra kérdezi az állítás, ezért könnyen lehet ellenpéldát találni; például a 0 és a -2 mértani közepe: √ 0*(-2) =0, számtani közepe: (0+(-2))/2=-1, 0>-1, tehát ebben az esetben hamis lesz az állítás. Az állítás abban az esetben lenne igaz, hogyha nemnegatív egész számokra lenne kimondva.

c) Legyen a keresett szám x, ekkor a feladat szerint x²-hez hozzáadjuk (2x+1)²-et, ekkor 274-et kapunk:

x²+(2x+1)²=274, kibontjuk a zárójelet:

x²+4x²+4x+1=274, összevonunk és redukálunk:

5x²+4x-273=0, ezt meg tudjuk oldani a megoldóképlettel, és azt kapjuk, hogy az x=7 mellett egy másik valós megoldást is kapunk, tehát az állítás hamis, mivel 2 számra is igaz az állítás.

d) Megoldjuk az egyenletrendszert; ha szemfülesek vagyunk, akkor láthatjuk, hogy a második egyenletben 9y²=(3y)² van, ezért az első egyenletet elég 3y-ra rendezni: 3y=3-5x, ezt beírjuk a második egyenletbe:

25x²+(3-5x)²=5, kibontjuk a zárójelet:

25x²+9-30x+25x²=5, összevonunk és redukálunk:

50x²-30x+4=0, esetleg lehet 2-vel osztani:

25x²-15x+2=0, ennek 2 megoldása is lesz, azonban egyik sem egész, tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása az egész számok halmazán, tehát az állítás igaz.

e) A számok harmonikus közepe: 3/((1/5)+(1/7)+(1/11))=1155/167, tehát az A lesz a megoldás.