Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Valós számokra teljesül, hogy
hannah762
kérdése
150
Üdv! Az alábbi feladatnál sajnos segítségre szorulok. Remélem valaki tud segíteni! Előre is köszönöm! 
Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c valós számokra teljesül, hogy a+b+c>0, ab+bc+ca>0 és abc>0, akkor a>0, b>0 és c>0.
Bizonyítsuk be, hogy ha az a, b, c valós számokra teljesül, hogy a+b+c>0, ab+bc+ca>0 és abc>0, akkor a>0, b>0 és c>0.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
velo.gabor
{ Elismert }
válasza
Szia! Nem tudom még aktuális-e, de azt hiszem megtaláltam a megoldást.
Feltételek:
1. a+b+c>0
2. ab+bc+ac>0
3. abc>0
Igazolandó
a>0 b>0 c>0
Tehát: a 3. feltételből következik hogy vagy mindhárom szám pozitív, vagy csak az egyik.
Ha csak az egyik lenne az akkor a következő dolog történne: legy csak az a pozitív, akkor az első állítás feltétele: a> b+c abszólútértékénél, viszont ebben az esetben a 2. feltétel bc-jének nagyobbnak kéne lenni ab+ac abszolútértékénél, ami semmiképpen se teljesülhet.
Az egész egy példával:
a=7 b=-4 c=-2
a 3. feltétel teljesül, hiszen 7*(-4)*(-2)=56 ami nagyobb 0-nál
az 1. feltétel is teljesül 7+(-4)+(-2)=1 ami nagyobb 0-nál
a második feltétel szerint 7*(-4)+7*(-2)+(-4)*(-2)>0 azonban ebben az esetben a baloldal -34, ami nem nagyobb 0-nál.
Bármelyik betűt jelölhettem volna a 7-tel ugyanezt az eredményt kaptam volna.
Tehát csak akkor áll fent a 3. állítás is, ha mindhárom betű értéke pozitív.
Feltételek:
1. a+b+c>0
2. ab+bc+ac>0
3. abc>0
Igazolandó
a>0 b>0 c>0
Tehát: a 3. feltételből következik hogy vagy mindhárom szám pozitív, vagy csak az egyik.
Ha csak az egyik lenne az akkor a következő dolog történne: legy csak az a pozitív, akkor az első állítás feltétele: a> b+c abszólútértékénél, viszont ebben az esetben a 2. feltétel bc-jének nagyobbnak kéne lenni ab+ac abszolútértékénél, ami semmiképpen se teljesülhet.
Az egész egy példával:
a=7 b=-4 c=-2
a 3. feltétel teljesül, hiszen 7*(-4)*(-2)=56 ami nagyobb 0-nál
az 1. feltétel is teljesül 7+(-4)+(-2)=1 ami nagyobb 0-nál
a második feltétel szerint 7*(-4)+7*(-2)+(-4)*(-2)>0 azonban ebben az esetben a baloldal -34, ami nem nagyobb 0-nál.
Bármelyik betűt jelölhettem volna a 7-tel ugyanezt az eredményt kaptam volna.
Tehát csak akkor áll fent a 3. állítás is, ha mindhárom betű értéke pozitív.
1
- Még nem érkezett komment!
