Képzeld el a gúla függőleges metszetét, ami a négyzet átlóján megy keresztül. A legjobb, ha le is rajzolod. Segítek, a teljes gúla a metszettel ilyen:
http://fizika.mechatronika.hu/matek/terffelszweb/szabnegyoldagula_elemei/image073.gif
Az ábra nem tökéletes, de csak ezt találtam. Azért nem az igazi, mert ezen az ábrán az oldalél ugyanolyan hosszú, mint az alapél, nálunk viszont nem. Szóval képzeld úgy, hogy az ábrán az EC élhez nem az van írva, hogy 'a', hanem az, hogy 'b'.

A metszet az ábrán az ACE egyenlő szárú háromszög, aminek a fele, az ATE derékszögű, aminek két befogója a gúla magassága és az alap négyzet átlójának a fele, az átfogója az oldalél. A magasság M=3 cm, az oldalél b=5 cm. Pitagorasszal kijön, hogy a másik befogó:
AT² + M² = b²
AT = √(b² - M²) = √(5² - 3²) = 4
(Egyébként ha észreveszed, hogy a 3, 5 az a 3, 4, 5 pitagoraszi számhármashoz tartozik, akkor még gyorsabban megvan AT.)

Az ábrára oda is van írva, hogy az AT szakasz hossza a·√2/2, de számoljuk is ki Pitagorasszal az ATB háromszögből:
AT² + TB² = a²
tudjuk, hogy AT = TB:
2·AT² = a²
ebből már kijönne, de nem is érdemes továbbmenni. Kiszámoltuk az előbb, hogy AT=4, tehát:
2·4² = a²
32 = a²
a = √ 32 

Kell még a felszín és a térfogat. A térfogat az egyszerűbb:
V = a²·M/3 = ...

A felszínhez kell az oldal-háromszög magassága is, amit az ábra mb-vel jelöl. Ez mondjuk az EFC derékszögű háromszögből jön ki Pitagorasszal:
(a/2)² + mb² = b²
8 +mb² = 25
mb = √ 17 
A felszín:
A = a² + 4·a·mb/2 = ... számold ki.