Boole Algebra

Igazából minden, amit ezekhez tudni kell, itt le van írva: https://tudasbazis.sulinet.hu/hu/szakkepzes/elektronika-elektrotechnika/digitalis-alaparamkorok/a-boole-algebra-szabalyai-es-alkalmazasuk/a-logikai-algebra-alaptetelei



1.
A megadott két sor teljesen ugyanaz, csak a tagok lettek más sorrendben felírva. A műveletek disztributivitása miatt a közös tagokat ki lehet emelni:

`g=bar A B (bar D + bar C +1)+ bar A D (bar C + C + B)`

Mindkét zárójelben lévő rész igaz, tehát az ÉS kapcsolatot nem befolyásolják, ezért elhagyhatók. `bar D + bar C +1 = 1`, mivel egy VAGY kapcsolat igaz, ha legalább az egyik tag igaz. `bar C + C + B=1`, mert `bar C` és `C` közül az egyik biztosan igaz, tehát a VAGY kapcsolat igaz. Tehát:

`g=bar A B + bar A D`

A legegyszerűbb alak definíció kérdése, többféle létezik. Ez a fenti a legegyszerűbb diszjunktív alak. Még egy kiemelést meg lehet tenni, és akkor megkapjuk a legegyszerűbb konjunktív alakot:

`g=bar A (B+D)`



2.
Az igazságtáblát rád bízom, számold ki a 3 változó mind a 8 értékkombinációjára a jobb és a bal oldal értékét, és nézd meg, hogy egyeznek-e.

`{:(A, B, C,\text{jobb},\text{bal}),
(0, 0, 0,\ \ ...,\ ...),
(0, 0, 1,\ \ ...,\ ...),
(0, 1, 0,\ \ ...,\ ...),
(0, 1, 1,\ \ ...,\ ...),
(1, 0, 0,\ \ ...,\ ...),
(1, 0, 1,\ \ ...,\ ...),
(1, 1, 0,\ \ ...,\ ...),
(1, 1, 1,\ \ ...,\ ...):}`

Az izgalmas feladat az algebrai bizonyítás. Nézzük az elsőt. Bővítsük ki a `BC` tagot így: `BC=BC(A + bar A)`. Világos, hogy ezzel nem változtattam meg az ÉS kapcsolatot, mivel `A+bar A = 1`. Ez az egyetlen trükk, utána már triviális az egész:

`AB+BC+bar A C``=``AB+BC(A+bar A)+bar A C``=``AB+ABC+bar A BC+ bar A C``=``AB(1+C)+bar A C (B+1)``=``AB+bar AC`

A másodiknál ha felbontjuk a zárójelet, akkor látszik, hogy ez ugyanaz, mint az első, csak a `B` és `C` változók meg vannak cserélve:

`(A+B)(bar A + C)``=``A bar A + AC + BC + bar A B``=``AC + BC + bar A B``=``AC + BC(A + bar A) + bar A B``=``AC + ABC + bar A BC + bar A B``=``AC(1+B) + bar A B (C + 1)``=``AC+ bar A B`



3.
Nézzük az elsőt:

`bar{ABC + A bar B C + bar{CD}}``=``bar{AC(B+bar B)+ bar{CD}}``=``bar{AC+ bar{CD}}``=``bar{AC}*CD``=``(bar A + bar C) CD``=``bar A CD + bar C CD``=``bar A CD`

A második pedig még egyszerűbb:

`bar{ABC + bar{CB}}``=``bar{ABC}*CB``=``(bar A+bar B+bar C)CB``=``bar A C B + bar B C B+bar C CB``=``bar A B C`