x² + 2x·sin(xy) + 1 = 0
2x·sin(xy) = - (x² + 1)
2sin(xy) = -(x + 1/x)

Tudjuk, hogy pozitív x-ekre x+1/x minimuma 2 (lásd később), tehát a jobb oldal maximuma -2, a bal oldalnak pedig a minimuma -2. Tehát csak akkor lehet megoldás, ha x+1/x = 2, vagyis x=1. Ekkor ilyenné alakul az egyenlet:
sin y = -1
Ennek kifejtését rád bízom.

Negatív x-ekre pedig x+1/x maximuma -2 (lásd lentebb),tehát a jobb oldalnak a minimuma 2, a bal oldalnak medig a maximuma 2, tehát x = -1 kell legyen.
sin(-y) = 1
Ezt is rád bízom...

---
Miért 2 a minimuma x+1/x-nek pozitív x-ekre?
Egyrészt ez eléggé ismert, másrészt a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenségből kijön:
(x + 1/x)/2 ≥ √(x · 1/x) = 1
Egyenlőség akkor áll fenn, ha x = 1/x vagyis x = 1

Negatív x-ekre x + 1/x = -((-x) + 1/(-x)), aminek tehát a maximuma -2 akkor, ha x = -1.