Matematika házi

Ha xyz = 1, akkor x≠0, y≠0, z≠0 teljesülnek.
1+z+zx ≠ 0 → szorozzuk be y-nal:
y + yz + 1 ≠ 0 → szorozzuk be x-szel:
xy + 1 + x ≠ 0
Vagyis a másik két tört nevezője se 0.

Most már csak ronda kifejtéseket kell csinálni, aztán xyz helyébe beírni, hogy 1:

A közös nevező:
(1+x+xy)(1+y+yz)(1+z+zx) = x²y²z² + x²y²z + x²yz² + 2x²yz + x²z + xy²z² + 2xy²z + xy² + 2xyz² + 4xyz + 2xy + 2xz + x + yz² + 2yz + y + z + 1
= 1 + xy + xz + 2x + x/y + yz + 2y + y/z + 2z + 4 + 2/z + 2/y + x + z/x + 2/x + y + z + 1
= 6 + xy+xz+yz + 2x+2y+2z + x/y+y/z+z/x + 2/x+2/y+2/z +x+y+z
= 6 + 3(x+y+z) + 3(1/x+1/y+1/z) + x/y+y/z+z/x

A számláló:
(1+y+yz)(1+z+zx) + (1+x+xy)(1+z+zx) + (1+x+xy)(1+y+yz) = x²yz + x²z + xy²z + xy² + xyz² + 3xyz + 3xy + 3xz + 2x + yz² + 3yz + 2y + 2z + 3
= x + x/y + y + y/z + z + 3 + 3/z + 3/y + 2x + z/x + 3/x + 2y + 2z + 3
= 6 + 3(x+y+z) + 3(1/x+1/y+1/z) + x/y+y/z+z/x

A hányadosuk tényleg 1.