Matematika házi

Az a sejtésem, hogy akkor a legrövidebb c, ha a=b, de be kellene bizonyítani...

Legyen a kerület 1. (Bármit elnevezhetünk 1-nek, ez nem módosít semmit.)
a+b+c = 1
→ a = 1-(b+c)
a²+b²=c²
→ [1² - 2(b+c) + (b+c)²] + b² = c²
1 - 2(b+c) + 2b² + 2bc = 0
1 - 2b + 2b² = 2c - 2bc
1 - 2b(1-b) = 2c(1-b)
1 / [2(1-b)] - b = c

Ennek a c-nek kell a minimumát keresni. Kicsit alakítsuk át, hogy "szebb" legyen, vezessünk be egy x = 1-b ismeretlent:
1/(2x) + x = c+1
c-nek ugyanott van minimuma, mint c+1-nek, mert csak konstanst adtunk hozzá. Tehát az is jó, ha megtaláljuk, hogy a bal oldalnak milyen x-nél van a minimuma.

Nézzük az 1/x és a 2x számtani és mértani közepét, valamint az azok közötti egyenlőtlenséget

(1/x + 2x)/2 ≥ √(1/x · 2x) = √2
A bal oldal éppen az a kifejezés, aminek a minimumát keressük, a jobb oldal pedig konstans. Ez jön tehát ki:
c+1 ≥ √2
Egyenlőség akkor áll fenn, tehát c akkor a legkisebb (c=√2-1), ha 1/x = 2x, vagyis x = 1/√2

x = 1-b = 1/√2
b = 1 - 1/√2
Az 'a' értéke pedig ekkor:
a = 1-(b+c) = 1 - ((1 - 1/√2) + (√2-1))
a = 1 - (√2 - 1/√2) = 1 - (√2² - 1)/√2 = 1 - 1/√2

Vagyis tényleg a=b !!
Az egyenlőszárú derékszögü háromszögnek a legkisebb az átfogója az azonos kerületűek közül.