Két megjegyzésem lenne:
1./ Ez nem kifejezetten diffgeo feladat. Felszínszámítás analitikus módszereiből kell választani.
2./ A nyeregfelület (hiperbolikus paraboloid) általános egyenlete itt `frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=2z`.
Csak sejtem, hogy a feladat `a=b=1` esetre vonatkozik. Az amit leírtál egy speciális nyeregfelület. Egy kis türelmet kérünk, vagy én vagy Albundy jelentkezik a megoldással is.

PLS!!!

A z=z(x,y) függvénnyel megadott sima felületdarab felszínét az
`S=int_Omega int sqrt(1+(frac{partial z}{partial x})^2+(frac{partial z}{partial y})^2) dx dy` kettős integrállal számolható ki, ahol `Omega` a felület vetülete az `Oxy` síkon.

A kettős integrál átalakítható a következőképpen:

`(frac{partial z}{partial x})^2+(frac{partial z}{partial y})^2=4(x^2+y^2)`

`int_(-1)^1(int_(-sqrt(1-y^2))^sqrt(1-y^2) sqrt(1+4(x^2+y^2)) dx) dy`=

`int_(-1)^1((4·y^2 + 1)·ln(2·sqrt(1 - y^2) + sqrt(5))/2 - (4·y^2 + 1)·ln(4·y^2 + 1)/4 + sqrt5·sqrt(1 - y^2) ) dy`=

`=[(sqrt(5) y sqrt(1 - y^2))/3 + (5 sqrt(5) arcsin(y))/6 + arctan((sqrt(5) y sqrt(1 - y^2))/(-1 + y^2))/6 - (y ln(1 + 4 y^2))/4 -` `(y^3 ln(1 + 4 y^2))/3 + (y (3 + 4 y^2) ln(sqrt(5) + 2 sqrt(1 - y^2)))/6]_(-1)^(1)`,

ami lényegében egy improprius integrál és értéke `pi·(5·sqrt(5)/6 - 1/6)~5,3304`.
Másik esetben, a `z=(x^2-y^2)/2` nyeregfelülettel számolva a felület felszínének az
értéke `pi·(4·sqrt(2)/3 - 2/3)~3,8294` lesz.

Gyula megoldása teljesen jó, a teljesség kedvéért álljon itt egy, a felület paraméterezésén alapuló megoldás is.



A `z=x^2-y^2` felület és az `x^2+y^2=1` hengerpalást metszete egy térgörbe, nem felület. Gondolom, a henger belsejébe eső felületdarabot kérdezi a feladat, tehát a nyeregfelületnek az `x^2+y^2 le 1` hengerrel vett metszetét.

Az `x^2+y^2 le 1` körlap paraméterezése `(rho cos varphi)\mathbf{i} + (rho sin varphi)\mathbf{j}`, ahol `0 le varphi lt 2pi` és `0 le rho le 1`. A keresett felületdarab `z` koordinátája `x^2-y^2`, tehát a paraméteres egyenlete `S: \mathbf{r}(rho, varphi)``=``(rho cos varphi)\mathbf{i}+(rho sinvarphi)\mathbf{j}+(rho^2 cos^2 varphi-rho^2 sin^2 varphi)\mathbf{k}``=``(rho cos varphi)\mathbf{i}+(rho sin varphi)\mathbf{j}+(rho^2 cos(2varphi))\mathbf{k}` (WolframAlpha ábra: https://bit.ly/3nmsIec )

A felszínhez az alábbi integrált kell kiszámítani:

`A=int_S dA=int_0^{2pi} int_0^{1} |\mathbf{r}'_{rho} \times \mathbf{r}'_{varphi}| d rho d varphi`

A paraméterek szerinti deriváltak:

`\mathbf{r}'_{rho}=(cos varphi)\mathbf{i}+(sin varphi)\mathbf{j}+(2rho cos(2varphi))\mathbf{k}`

`\mathbf{r}'_{varphi}=(-rho sin varphi)\mathbf{i}+(rho cos varphi)\mathbf{j}+(-2 rho^2 sin(2varphi))\mathbf{k}`

A vektoriális szorzatuk:

`\mathbf{r}'_{rho} \times \mathbf{r}'_{varphi}=|(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}),(cos varphi,sin varphi,2rho cos(2varphi)),(-rho sin varphi,rho cos varphi,-2 rho^2 sin(2varphi))|=`

`=[-2 rho^2 sin(2 varphi) sin varphi - 2 rho^2 cos(2 varphi)cos varphi]\mathbf{i}``+``[2 rho^2 sin(2 varphi) cos varphi - 2 rho^2cos(2 varphi) sin varphi]\mathbf{j}``+``[ rho cos^2 varphi + rho sin^2 varphi]\mathbf{k}=`

`=[-2 rho^2 cos varphi]\mathbf{i}+[2 rho^2 sin varphi]\mathbf{j}+rho \mathbf{k}`

Az abszolút érték:

`|\mathbf{r}'_{rho} \times \mathbf{r}'_{varphi}|``=``sqrt(4 rho^4 cos^2 varphi+4 rho^4 sin^2 varphi + rho^2)``=``sqrt(4 rho^4 + rho^2)``=``rho sqrt(4 rho^2 + 1)`

Tehát a felszín:

`A=int_0^{2pi} int_0^{1} rho sqrt(4 rho^2 + 1) d rho d varphi``=``2 pi int_0^{1} rho sqrt(4 rho^2 + 1) d rho`

Éljünk az `u=4rho^2+1` helyettesítéssel! Ekkor `(du)/(d rho)=8 rho`, tehát `d rho = 1/(8 rho) du`, és ha `rho in [0; 1]`, akkor `u in [1; 5]`:

`A=2 pi int_1^5 rho sqrt(u) 1/(8 rho) du``=``pi/4 int_1^5 sqrt(u) du``=``pi/4 [2/3 u^(3/2)]_1^5``=``pi/6(sqrt(125)-1)``~~``5.33`