SOS Diffgeo feladat

Először is paraméterezzük az implicit egyenlettel megadott görbét. Egy `2` sugarú, `[1; -3]` középpontú körről van szó, tehát a paraméteres egyenlete `C: \mathbf{r}(t)=(1+2cos t)\mathbf{i}+(-3+2sin t)\mathbf{j}`, ahol `0 le t lt 2pi`.

A görbe deriváltja `\dot{\mathbf{r}}(t)=(d\mathbf{r})/(dt)`, tehát `d\mathbf{r}=\dot{\mathbf{r}}(t)dt`. Ezt felhasználva könnyen számítható alakba írható az integrál:

`I=oint_C \mathbf{F}(\mathbf{r}) * d\mathbf{r}``=``int_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))*\dot{\mathbf{r}}(t) dt`

Nézzük az erőtérnek a görbe mentén felvett helyettesítési értékét:

`\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))``=``(4+8cos t+6-4sin t)\mathbf{i}+(2+4cos t+12 - 8sin t)\mathbf{j}``=``(10+8cos t-4sin t)\mathbf{i}+(14+4cos t - 8sin t)\mathbf{j}`

A görbe deriváltja pedig:

`\dot{\mathbf{r}}(t)``=``(-2sin t)\mathbf{i}+(2 cos t)\mathbf{j}`

A skalárszorzat:

`\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))*\dot{\mathbf{r}}(t)``=``-20sin t-16sin t cos t+8sin^2 t``+``28cos t+8cos^2 t - 16sin t cos t``=``-20sin t + 28cos t -16sin(2t) + 8`

Tehát ennek az integrálját kell kiszámítanunk `0`-tól `2pi`-ig. Ez nagyon egyszerű, mivel a szinuszos tagok teljes periódusra vett integrálja nulla, tehát egyedül a konstans tagnak van járuléka:

`I=int_{0}^{2pi}(-20sin t + 28cos t -16sin(2t) + 8)dt``=``int_{0}^{2pi} 8 dt``=``16pi`