4099)
Sk = [a₁ + ak]·k/2
1638 = (18 + 99)·k/2
Ebből kijön k...

4100)
a₁ = 17
d = 10
1472 = Sk = [2a₁ + (k-1)d]·k/2
2944 = (2·17 + 10k - 10)·k
2944 = 24k + 10k²
Ezt másodfokú egyenlet megoldóképletével lehet megcsinálni:
k₁ = 16
k₂ = ... negatív, nem jó

Tehát 16-ot adtunk össze.

4101)
Az első n elem összege 5010, utána az n+1-edik jön.
Nevezzük az n+1-edik elemet b₁-nek, ekkor az n+10-edik b₁₀ lesz. A b sorozatnak is 3 a differenciája.
b₁-től b₁₀-ig az összeg 6895 - 5010 = 1885
1885 = [2b₁ + 9·d]·10/2
1885 = [2b₁ + 9·3]·10/2
ebből gyorsan kijön, hogy b₁ = 175

Ez tehát az n+1-edik elem, vagyis b₁ = a₁ + (n+1 - 1)·d
Vagyis 175 = a₁ + n·3
Tudjuk, hogy 5010 = (2a₁ + (n-1)·3)·n/2
Ebből a két egyenletből (a második négyzetes) kijön a₁ is meg n is:
a₁ = 175 - 3n
10020 = (2·(175-3n) + 3(n-1))·n
10020 = (350 - 6n + 3n - 3)·n
10020 = 347n - 3n²
Megoldóképlettel:
n₁ = 60
n₂ = ... nem egész szám
Csak a 60 a jó, tehát n=60
a₁ = 175 - 3·60 = -5


4102)
a₁ = 22
d = 5
Olyan n-et keresünk, amivel Sn értéke legalább 385.

Sn = (2a₁ + (n-1)d)·n/2 ≥ 385
(44 + (n-1)·5)·n/2 ≥ 385
(44 + (n-1)·5)·n ≥ 770
39n + 5n² ≥ 770
5n² + 39n - 770 ≥ 0
Egyenlőséggel számolva a másodfokú megoldóképletből: (lesz egy pozitív meg egy negatív, de csak a pozitív az érdekes)
n = [-39 + √(39² + 4·770·5)]/10 ≈ 9,1

a) Ennél nagyobb kell, vagyis n=10, a tizedik nap kiolvassa a könyvet.
b) 9 nap alatt ennyi oldalt olvas el:
S₉ = (2·a1 + 8·d)·9/2 = (44 + 4·5)·9/2 = 288
Az utolsó napra 385-288 = 97 oldal jut.