Bizonyitas

Legyenek a hármoszög két pontjának (`A` és `B`) koordinátái egész számok, nézzük meg, milyenek lehetnek a harmadiké (`C`).
Nyugodtan feltételezhetjük az egyszerűség kedvéért, hogy az`A` pont az origóban van. Ugyanis azzal, ha az origóba csúsztatjuk, vagyis egész számmal eltoljuk x-ben és y-ban is, a koordináták egész vagy nem egész volta nem változik meg.
Tehát a két pont `A(0;0)` és `B(a;b)`, ahol `a ∈ ℤ, b ∈ ℤ` és mindkettő nem 0 egyszerre.

Az `A`-ból `B`-be mutató vektor a `barv(a;b)` vektor. Erre merőleges az `barn(b;-a)` vektor. Ennek a `sqrt3/2`-szerese a magasság. Két irányban is lehet:
`barm_1(sqrt3/2 b;-sqrt3/2 a)`
`barm_2(-sqrt3/2 b;sqrt3/2 a)`
A `C` pont koordinátája tudjuk, hogy `bar v/2+bar m_"12"`, tehát ez a kettő lehet:
`C_1((a+sqrt3b)/2;(b-sqrt3a)/2)`
`C_2((a-sqrt3b)/2;(b+sqrt3a)/2)`
Ezek közül `C_1` vagy `C_2` két koordinátájának kellene egésznek lennie.

Elég azt belátni, hogy `(a+sqrt3b)/2`, ahol `b≠0`, nem lehet egész. Ahhoz elég belátni, hogy `sqrt3b` nem lehet egész. Az pedig annak a következménye, hogy `sqrt3` irracionális szám. Ugyanis ha `sqrt3b=c` egész lenne, akkor `sqrt3=c/b` racionális lenne.

Ha viszont `b=0`, akkor a fenti kifejezés `a=2k` esetén egész lesz. Viszont a másik koordinátának is egésznek kellene lennie, ahol a `sqrt3` szorzója már nem nulla. Azt pedig már láttuk, hogy nem lehet egész.