Matek feladat(sokszögek)

Kiindulunk 5 háromszögből úgy, hogy felveszünk 1 pontot az ötszög közepén, és oda húzunk 5 szakaszt a csúcsokból.
Aztán 1 újabb pont hozzáadásával két lehetőség van:
a) Az egyik háromszög belsejébe rakjuk a pontot. Ekkor a háromszög 3 csúcsába kell szakaszt húzni, 1 háromszögből 3 lesz, tehát 2-vel nő a háromszögek száma.
b) Egy létező belső szakaszra rakjuk a pontot (kettévágunk egy szakaszt). Ekkor az új pontból vonalat kell húzni a kettévágandó szakasz két oldalán lévő háromszögek harmadik csúcsába. 2 háromszögből 4 lesz, tehát ekkor is 2-vel nő a háromszögek száma.

Kell tehát 10 új pontot hozzáadni, hogy kapjunk 20 új háromszöget.

Vagyis összesen 11 belső pont lesz.

5 olyan háromszög van amelynek az oldala az ötszög oldalával felel meg. Ilyen esetben az oldalhoz tartozó 2 csúcs is az ötszög csúcsával egybe esik, tehát csak a harmadik csúcs van az ötszögön belül.

Egy másik háromszög csúcsnak is lennie kell az ötszög csúcsánál, mivel ellenkező esetben az 5 db háromszög kitelítené az egész területet.

Mivel az ötszög minden csúcsánál 3 darab csúcs található, így összesen (3*5) 15 darab csúcs nincs az ötszögön belül, tehát 25*3-15 azaz 60 csúcs van az ötszögön belül.