Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Teljes indukciós bizonyítás

258
Igazolja teljes indukcióval az alábbi egyenlőtlenséget:
n! ≥ 3^n ,ha n ≥ 7;
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
indukció, bizonyítás, emelt, diszkrét
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Felhasználjuk a következő triviális egyenlőtlenséget: Ha `x>y>0` és `a>b>0`, akkor `a*x>b*y`.
`n=7` esetén `7!-3^7=2.853` és `n=8` esetén `8!-3^8=33.759` igaz az állítás.
Indukciós feltevés az hogy `n!>3^n`. Legyen `x=n!` és `y=3^n` és
`a=(n+1)`, `b=3`, mivel `n>7` így `x>y` és `a>b` is teljesül. Alkalmazva a fenti egyenlőtlenséget adódik, hogy `(n+1)`-re is igaz lesz az állítás (azaz `(n+1)!>3^(n+1)`) és a teljes indukciós elvet alkalmazva adódik a bizonyítandó állítás is.
Módosítva: 3 éve
0