Matek verseny

9) Harmonikus közép: veszed a számok reciprokát, összeadod őket, és a kapott összeggel osztod a számok számát, vagyis 2/((1/13)+(1/28)).

10) Észrevehető, hogy a bal oldal átírható (x²+3)² alakban, tehát

(x²+3)²=0, tehát x²+3=0, ennek pedig nincs megoldása a valós számok halmazán (ha komplexben kell, azt is leírom).

11) Ha az egyik szám x, akkor a másik szám x+1, tehát x*(x+1)=306. A bal oldali szorzat =~x², tehát ha gyököt vonunk, akkor x=~17,49-et kapjuk, tehát ekörül lesz a megoldás. Hamar meg is találjuk: 17*18=306, tehát a keresett számok a 17 és a 18.

12) Tetszőleges n oldalú sokszögnek n*(n-3)/2 darab átlója van, esetünkben ez 170, tehát:

n*(n-3)/2=170, vagyis n*(n-3)=340, itt is lehet azt használni, amit már az előbb használtunk; a bal oldalon ~n² van, tehát n²=340, vagyis n=~18,44, ekörül keressük a megoldást. Mivel a 340 osztható 17-tel, ezért vagy n-nek, vagy (n-3)-nak 17-nek kell lennie; ha n=17, akkor 17*14=238, ez nem jó, ha pedig n=20, akkor n-3=17, így 20*17=340, ez kell nekünk. Tehát a síkidomnak 20 oldala van.