Hatványozás gyökvonás logaritmus

A)

`lg(x-1)+lg 4` = `lg 100`

4(x-1) = 100

x-1 = 25

x = 26

B)

`3^(2x)-2*3^x-3` = 0

`3^x` = 0

`a^2-2a-3` = 0

(a+1)(a-3) = 0

`a_1` = -1 = `3^x` ez nem megoldás

`a_2` = 3 = `3^x` = `3^1`

x = 1

C)

x `ge` 0 kezdeti feltétel

`9^(root()(x)` = `3^(x-3)`

`2*root()(x)` = x-3 `/^2`, de csak óvatosan, mert a négyzetreemeléssel gyökszaporulat lehet

4x = `x^2-6x+9`

`x^2-10x+9` = 0

`(x-1)(x-9)` = 0

`x_1` = 1

Ezt ellenőrizve nem jön ki a megoldás, a négyzetreemelés okozta.

x = 9 (ez az egy megoldás van)

D)

felt: x `gt` `-5/3`

`(x+15)^2/(3x+5)` = 20

`x^2+30x+225` = 60x+100

`x^2-30x+125` = 0

`(x-5)(x-25)` = 0

`x_1` = 5

`x_2` = 25


E)

felt: x `gt` 0

`25^(root()(x)` = `5*5^(3*root()(x)`

`5^(2*root()(x))` = `5^(3*root()(x)+1)`

`5^(root()(x))` = a

`a^2` = `5*a^3`

`a^2(5-a)` = 0

`a_1` = 0 = `5^(root()(x)` ez nem vezet megoldáshoz, nulla nem lehet valamely szám hatványa.

`a_2` = 5 = `5^(root()(x))`

`root()(x)` = 1

x = 1

F)

`(log_2 x-3)*(log_2 x^2+6)` = 0

Szorzat akkor nulla, ha az egyik tényezője nulla:

I. tag:

`log_2 (x-3)` = 0

`2^0` = 1 = x-3

`x_1` = 4

II. tag

`log_2 (x^2+6)` = 0

`2^0` = `x^2+6` = 1

`x^2` = -5

A valós számok halmazán itt nincs megoldás, csak az x = 4.

G)

`5^(x+1)` + `5^(x+2)` = 30

`5*5^x + 25*5^x` = 30

`30*5^x` = 30

`5^x` = 1 = `5^0`

x = 0


H)

felt: x `gt` `2/3`

`lg root()(3x-2) + lg root()(4x-7)` = lg 2

`root()((3x-2)(4x-7))` = 2

`root()(12x^2-29x+14)` = 2

`12x^2-29x+14` = 4

`12x^2-29x+10` = 0

`x_1` = `5/12` a kezdeti feltétel miatt nem megoldás

`x_2` = 2


I)

`3^(x^2-3x-8)` = 9 = `3^2`

`x^2-3x-8` = 2

`x^2-3x-10` = 0

(x-5)(x+2) = 0

`x_1` = 5

`x_2` = -2

J)

felt: x `gt` 1

lg x - lg(x-1) = 2 = lg 100

`x/(x-1)` = 100

x = 100x-100

99x = 100

x = `100/99`

K)

felt: x `gt` `3/2`

`lg(2x-1)+lg(2x-3) = lg 8`

`(2x-1)*(2x-3)` = 8

`4x^2-8x+3` = 8

`4*x^2-8x-5` = 0

`x_1` = `5/2`

`x_2` = `-1/2` a kezdeti feltétel miatt ez nem megoldás.

L)

felt: x `gt` `5/2`

`lg(2x-5)` = lg x - lg 3

2x-5 = `x/3`

x= 6x-15

x = 3