Ötletek a megoldáshoz:
1./ és `n=k^3` esetén viszonylag könnyen megmutatható a triviális megoldások száma legalább 3. A számítógép igénybevétele esetén felállítható az a sejtés, hogy a megoldások száma osztható hárommal. Néhány esetben `(n=1,3, 8, 17,19, 24 text( stb.))` az is látható, hogy a megoldások az origó környezetében vannak. De mi történik a többi esetben? `n=2` esetén az is látható, hogy r=6000-es sugarú kör sem elég a megoldások megtalálásához. 1./ és 2./ közötti ellentmondás megszüntethető, ha feltesszük 1./-nél az `n ne 7^2*59 ` feltételt is.
Végül is `n=k^3` esetén a megoldások száma 6 lesz:
`{(x,y) | (-k, -k), (0, k), (k, 0), (-3k, -2k), (k, 3k), (2k, -k) }`.

`n=3*k^3` esetén három megoldást találtam:
`{(x,y) | (-k, -2k), (-k, k), (2k, k) }`;

`n=k^3-12k+8` esetén szintén három megoldást találtam:
`{(x,y) | (k, 2), (-2, k-2), (2-k, -k) }`;

`phi(k):=3*2^(3*(k-1))-9*2^(2*(k-1))-3*2^(k-1)+1` és
`n=phi(k)` esetén három megoldást találtam:
`{(x,y) | (2^k, 2^(k-1)+1), (1-2^(k-1),-2^k), (-2^(k-1)-1, 2^(k-1)-1) }`

Eddig mindegyik megoldásnál észrevehető, hogy az (x,y) vonatkozásában
a "megoldások összege" zérust adott.

A két bizonyítandó tétel ellentmond egymásnak, nem lehet mindkettő igaz, Nem úgy volt esetleg az első feladat eredetileg, hogy bizonyítsuk be, hogy ha van megoldás, akkor 3 is van?

Azt be tudom bizonyítani:
Felírható a bal oldal úgy is, hogy `(x-y)^3+3y(x-y)^2-y^3`. Ezt pedig összehasonlítva az eredetivel szimmetria okokból azt kapjuk, hogy ha az `(x,y)` rendezett pár megoldás, akkor a `(-y,x-y)` szintén az. Arra is alkalmazva ezt a transzformációt pedig kijön, hogy az `(y-x, -x)` szintén megoldás. Arra újra alkalmazva már `(x, y)` jön ki, tehát körbeértünk. Ami azt jelenti, hogy ha van egy megoldás, akkor van 3 is (illetve hogy a megoldások száma 3 többszöröse).

A "rendes" bizonyításhoz még be kell látni, hogy ez a három megoldás különböző, ezt rád bízom (nem bonyolult).

Megjegyzés: Ez a levezetés bizonyítja gyula205 megfigyelését is, hogy a megoldások "összege" 0,0, hisz `x+(-y)+(y-x)=0`, és hasonlóan az y is.

A második tételen nem gondolkodtam...