1.
A forgatónyomatékok egyformák kell legyenek:
Az egyik erőkar 1 m, a másik pedig 5 m
A 70 kg-os test 700N erővel hat a pallóra, a fal pedig x-szel a palló másik végére:
1m · x = 6m · 700N
→ x = 4200 N
Ez is lefelé hat.
Az alátámasztáshoz úgy képzeld el, mintha egy libikóka lenne. Ott egyértelmű, hogy mindkét oldalon lévő súly összege hat az alátámasztásra, itt is: 4200 + 700 = 4900 N

2.
Ezt le kell rajzolni, hogy lásd, milyen irányban milyen erők vannak. A lényeg, hogy egyrészt az erők eredője is 0 kell legyen (hisz nem mozdul el semmi), meg a forgatónyomatékok eredője is (hisz nem fordul el semmi). (Most a forgatónyomatékkal nem is kell majd számolni, mert nincsenek sok pontban erők.)
Nézzük, milyen erők hatnak ott, ahol a lámpa fel van erősítve (a rúd végén):
- A lámpa súlya 200 N, lefelé
- A kötélerő K, a kötél irányában felfelé
Ezen kívül:
- Ahol a kötél a falhoz van rögzítve, ott is hat K nagyságú, de ellenkező irányú erő
- Ahol a rúd a falba van erősítve, ott is hat valamekkora erő a fal felől a rúd irányába.
Ez az utóbbi kettő nem túl izgalmas most, mindkettő csak ellenerő.

Visszatérve a K kötélerőre, ami a rúd végén hat. Ezt érdemes két komponensre bontani: vízszintes és függőleges. A rúd-kötél-fal háromszög oldalai 4, 2 és √(4²+2²) = √20 hosszúak. Ez azért érdekes, mert az erők komponensei is ilyen irányúak, tehát azok hasonló háromszöget fognak alkotni ezzel a háromszöggel. Vagyis a komponenseket ezen háromszögek oldalainak arányával tudjuk felírni:
- Vízszintes komponens: Kv / K = 4/√20 → Kv = K · 4/√20
- Függőleges komponens: Kf / K = 2/4 → Kf = K · 2/4 = K/2

A függőleges komponens azonos nagyságú kell legyen a test súlyával, hogy az eredő 0 legyen:
Kf = 200 N → K = 2·Kf = 400 N

Most, hogy már tudjuk a kötélerőt, a vízszintes komponense is kijön:
Kv = 400N · 4/√20 = ...
A fal is pont ekkora erővel kell hasson a rúdra, hisz ezek eredője is 0 kell legyen. Tehát ez a válasz arra, hogy mekkora erő ébred a rúdban.

3.
Ehhez is ábrát kell csinálni. Ott is az erők hasonló háromszögek lesznek azzal, amiket a kötél két oldala, valamint az elképzelt vízszintes és függőleges egyenesek alkotnak.
Fel kell írni a két kötélerőt, valamit a lámpa súlyát. Ezek az erők hatnak a lámpa felfüggesztési pontjára. Az eredőjük 0 kell legyen (mert nem mozog semmi)
A két ismeretlen kötélerőnek (K₁ és K₂) fel kell írni a vízszintes és függőleges komponenseit (a hasonló háromszögekkel lehet kiszámolni, hogy K₁-et mennyivel kell szorozni, hogy a vízszintes komponens legyen, stb.)
Aztán a két kötélerő vízszintes komponensei egyformák kell legyenek, a függőleges komponensek összege meg pont annyi, mint a lámpa súlya. Ebből az egyenletrendszerből kijön a két kötélerő.
Próbáld meg megcsinálni. Ha elakadsz, szólj.

4.
Ez különbözik az előzőektől, itt tehetetlenségi nyomaték és perdületmegmaradás (van.
Szóval a rúd felénél forgatjuk meg a rudat.
A rendszer tehetetlenségi nyomatéka a két golyó nyomatékának az összege:
Θ = m·r² + m·r²
ahol m=0,5 kg, r = 2 m
Θ₁ = 2·0,5·2² kgm² = 4 kgm²
Ezt megforgatjuk, ω₁ = 6 1/s

Egy rendszer perdülete (impulzusmomentuma) ennyi:
N = Θ·ω
Most ez ekkora:
N₁ = Θ₁·ω₁ = 4 kgm² · 6 1/s = 24 kgm²/s

Ha közelebb húzzuk a golyókat, akkor megváltozik a rendszer tehetetlenségi nyomatéka, de a perdülete ugyanakkora marad (N₁=N₂), ezért a szögsebesség fog változni (felgyorsul a forgás):
Θ₂ = 2·m·r₂² = 1 kgm² (r₁ = 1 m)
N₁ = Θ₂·ω₂ = N₁
ω₂ = N₁ / Θ₂ = 24 kgm²/s / 1 kgm²

Szóval 6-ról 24 1/s-re gyorsul a forgás.

5.
!!!!!!!! Nem így kell megoldani, mint ahogy itt csináltam, de ha már kiszámoltam energiamegmaradással a szögsebességet, itt hagyom. Valójában nincs r á szükség. Lépd át a ---- szaggatott vonalig.

Ez is újabb dolog. Energia alakul át helyzetiből mozgásiba és forgásiba.

Szóval a forgó hengernek energiája van, ami ekkora:
E₁ = 1/2·Θ·ω²
A tömör henger tehetetlenségi nyomatéka:
Θ = m₁·r²/2 = 40 kg · 0,5² m² / 2 = 10 kgm²
E₁ = 1/2 · 10 kgm² · ω² = 5·ω² kgm² = 5·ω² Js²

Ha ω szögsebességgel forog a henger, akkor a letekeredő kötél v=r·ω sebességgel mozog. Ekkor a kötél végén a test mozgási energiája:
E₂ = 1/2·m₂v² = 1/2·m₂·r²·ω² = 1/2 · 5 kg · 0,5² m² · ω² = 5/8 · ω² kgm² = 5/8 · ω² Js²

Ha 2m kötél tekeredik le, akkor 2 métert süllyed az 5 kg-os teher. Tehát ekkora helyzeti energia alakul át:
E₃ = m·g·h = 5 kg · 10 m/s² · 2 m = 10 J

Ez alakul át a test mozgási energiájává és a henger forgási energiájává:
E₃ = E₁ + E₂
10 J = 5·ω² + 5/8 · ω² Js²
ω² = 10 / (5+5/8) s² = 80/45 1/s²
ω = √(80/45) 1/s

Ez a végső szögsebesség.

----------------------------------
Szóval nem volt szükség az előző bonyolult számolásra.

A hengert a letekeredő kötélen lévő test forgatónyomatéka forgatja. Ennek a mozgásnak az alapegyenlete:
M = Θ · β (ez analóg a gyorsuló mozgásnál az F=m·a -val)

A forgatónyomaték:
M = F·r = m·g·r = 5 kg · 10 m/s² · 0,5 m = 25 Nm
A tömör henger tehetetlenségi nyomatéka:
Θ = m₁·r²/2 = 40 kg · 0,5² m² / 2 = 10 kgm²

β = M/Θ = 25 / 10 1/s²
β = 2,5 1/s²

Ilyen egyszerű lett.

6.
t = 7 s
N = 600 1/perc → ω = 600·2π 1/perc = 600·2π/60 1/s = 20π 1/s
Ekkora szögsebességről lassul le 0-ra. Átlagosan ω/2 szögsebességgel forog t ideig, vagyis ennyi radiánt fordul:
α = (ω/2)·t = 10π · 7 = 70 π
ami α/(2π), vagyis 35 teljes fordulat:.

A szöggyorsulás β = ω/t = 20π/7 1/s² volt.
A forgatónyomaték, ami lelassította a forgást, M = Θ · β
A Θ hengerként számolható, m·r²/2, azt már rád bízom, meg M-et is.

7.
Ez lesz energiamegmaradásos példa.
Mindkét hengernek kezdetben ugyanakkora a helyzeti energiája. Amikor leérnek a lejtő aljára, lesz nekik mozgási energiájuk (mintha a tömegközéppontba képzelnének a teljes tömegüket) és forgási is.
Annak a hengernek a tehetetlenségi nyomatéka, amelyiknél a tömeg 90%-a a palástnál van, nagyobb, mint a másiknál, mert Σm·r² határozza meg a Θ-t, és akkor több olyan rész van, ahol r nagyobb.
A forgási energia 1/2·Θ·ω², ezért a nagyobb Θ-hoz kisebb ω, vagyis kisebb sebesség tartozik. Ezért a "palástos" henger lassabban ér le.