Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Algebra

373
Bizonyítsd be, hogy minden `n in NN` természetes egészre létezik legalább egy valós zérushelye a
`p(x):=x^5+5nx^4+10nx ^3+10nx^2+5nx+n` polinomnak és ez a valós zérushely felírható gyökök segítségével is.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
polinomok, Zérushelyek, Megoldóképletek
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

3
Nekiálltam
1

n=1 esetén
x⁵+5·x⁴+10·x³+10·x²+5·x+1=(x+1)⁵, ekkor x=-1-nél lesz zérushely
0

`n>1` esetén pedig:

`p(x)=n(x+1)^5-(n-1)x^5 = (root(5)nx+root(5)n)^5-(root5(n-1)x)^5`
amiből kiemelhető az
`root(5)nx+root(5)n-root5(n-1)x=(root(5)n-root5(n-1))x+root(5)n`
tehát az egyik gyök a
`(-root(5)n)/(root(5)n-root5(n-1))=(-1)/(1-root5(1-1/n))`

Valójában `n=1` esetén is alkalmazható ez is.
1