Keresés


Toplista

Toplista
  • betöltés...

Magántanár kereső

Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!

Algebra

Főoldal » Felsőoktatás » Matematika
442
Bizonyítsd be, hogy minden `n in NN` természetes egészre létezik legalább egy valós zérushelye a
`p(x):=x^5+5nx^4+10nx ^3+10nx^2+5nx+n` polinomnak és ez a valós zérushely felírható gyökök segítségével is.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
polinomok, Zérushelyek, Megoldóképletek
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

3
Nekiálltam
1

n=1 esetén
x⁵+5·x⁴+10·x³+10·x²+5·x+1=(x+1)⁵, ekkor x=-1-nél lesz zérushely
0

`n>1` esetén pedig:

`p(x)=n(x+1)^5-(n-1)x^5 = (root(5)nx+root(5)n)^5-(root5(n-1)x)^5`
amiből kiemelhető az
`root(5)nx+root(5)n-root5(n-1)x=(root(5)n-root5(n-1))x+root(5)n`
tehát az egyik gyök a
`(-root(5)n)/(root(5)n-root5(n-1))=(-1)/(1-root5(1-1/n))`

Valójában `n=1` esetén is alkalmazható ez is.
1