Vezessünk be egy új változót! Helyettesítéssel (többel) oldjuk meg a feladatot.
Legyen `u=sqrt(tg(x))`
Ez azt jelenti, hogy `u^2=tg(x)`. Ebből: `tg^(-1)(u^2)=x`. Deriválom mindkét oldalt:

`1/(1+(u^2)^2)*2*u*du=dx`

Visszaírom az integrálba:

`int(u*2*u)/(1+u^4)du=int(2*u^2)/(1+u^4)du=int(u^2+1)/(1+u^4)du+int(u^2-1)/(1+u^4)`. Ezt a két integrált
külön kezelem innentől. Legyen az első fele (1) a második fele (2) jelöléssel ellátva.

Osztom mind az (1)-es mind a (2)-es egyenletet `u^2`-el

`int(1-1/(u^2))/((u+1/u)^2-2)du+int(1+1/u^2)/((u-1/u)^2+2)du`

Legyen `t=u+1/u`
`dt=1-1/u^2du`

És legyen `w=u-1/u`
`dw=1+1/u^2du`

Azaz az integrál így alakul:

`int1/(t^2-2)dt+int1/(w^2+2)dw`
Ezt azért már sokkal egyszerűbb kezelni.
Tudjuk ugyanis, hogy `int1/(x^2-a^2)dx=(-1)/atgh^(-1)(x/a)`
Valamint azt is tudjuk, hogy: `int1/(x^2+a^2)dx=(1)/atgh^(-1)(x/a)`
Ha ezeket esetleg nem tudnád, akkor e videó alapján megtanulhatod: https://www.youtube.com/watch?v=x2PLdgARyR8

Az `a` jelen esetünkben `a=sqrt(2)`
Ezeket felhasználva valamint behelyettesítve t,w és u helyére:

`int1/(t^2-2)dt+int1/(w^2+2)dw=(-1)/(sqrt(2))tgh^(-1)(t/sqrt(2))+1/sqrt(2)tg^(-1)(w/sqrt(2))`
`=(-1)/(sqrt(2))tgh^(-1)((u+1/u)/sqrt(2))+1/sqrt(2)tg^(-1)((u-1/u)/sqrt(2))`
`=(-1)/(sqrt(2))tgh^(-1)((sqrt(tg(x))+sqrt(ctg(x)))/sqrt(2))+1/sqrt(2)tg^(-1)((sqrt(tg(x))-sqrt(ctg(x)))/sqrt(2))`