Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

Sztochasztika vizsgafeladat #1

41
Anna 3 különböző fajta magot ültet a kiskertjébe, de elfelejti, melyik melyik. Így véletlenszerűen helyezi el a üres három tasakot az elültetett magok mellé, melyek azt hivatottak jelölni, hová milyen mag került. Jelölje ξ azt, hogy a három mag közül hány kapott megfelelő címkét.
(a) Írjuk fel ξ eloszlását, adjuk meg és rajzoljuk fel eloszlásfüggvényét.
(b) Számítsuk ki ξ várható értékét és szórását.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika

Válaszok

1
Legyen a 3 mag neve a,b,c. Ilyen sorrendek lehetnek:

(A magoknál bármilyen sorrend jó, de a,b,c a legegyszerűbb. A magok tehát lehetnek fixen ilyenek, a tasakokat pedig lerakjuk minden lehetséges sorrendben.)

A magok:
a,b,c
------- a tasakoknak 3! sorrendje lehet:
a,b,c: ξ=3 (mert mindhárom jó helyen van)
a,c,b: ξ=1 (mert csak az `a` van jó helyen)
b,a,c: ξ=1 (...)
b,c,a: ξ=0
c,a,b: ξ=0
c,b,a: ξ=1

a) ξ eloszlása tehát ez lett: (pl. ξ=0 kétszer fordult elő a 6-ból, ezért annak valószínűsége 2/6)
`{:(ξ,0,1,2,3),
(P,2/6,3/6,0,1/6):}`
Ezt rajzold fel oszlopdiagrammal is.

b)
Várható érték:
`μ=E(ξ)=sum_(x=0)^3 x·P(ξ=x)=0·2/6+1·3/6+2·0+3·1/6=1`
Szórásnégyzet:
`σ^2=D^2(ξ)=E( (ξ-μ)^2 )=sum_(x=0)^3 (x-μ)^2·P(ξ=x)=`
`=(0-1)^2·2/6+(1-1)^2·3/6+(2-1)^2·0+(3-1)^2·1/6=1`
Ennek a gyöke a szórás, az is 1.

Most könnyű volt így számolni a szórásnégyzetet, mert a várható érték egész szám volt. Sokszor viszont jobb így számolni:
`σ^2=D^2(ξ)=E( ξ^2)-μ^2=(sum_(x=0)^3 x^2·P(ξ=x)) - μ^2=`
`=(0^2·2/6+1^2·3/6+2^2·0+3^2·1/6)-1^2=12/6-1=1`
Így is ugyanaz jött ki persze...
0