`((n),(k))` = `(n!)/(k!*(n-k)!)`

`(n-1)!` = `(n!)/n`

és

`(k-1)!` = `(k!)/k`

`(n-k-1)!` = `((n-k)!)/(n-k)`

`((n-1),(k))` = `((n-1)!)/((k!*((n-k-1)!)` = `(n!)/(n*k!*(n-k-1)!` = `(n!*(n-k))/(n*k!*(n-k)!)` = `((n),(k))*(n-k)/n`


`((n-1),(k-1))` = `((n-1)!)/((k-1)!*(n-1-k+1)!` = `(n!*k)/(n*k!*(n-k)!` = `((n),(k))*(k/n)`

A két szorzótényező összege:

`(n-k)/n` + `k/n` = 1 - `k/n` + `k/n` = 1

Köszönöm. Az algebrai bizonyítását ismerem. Egy valós szituáció kellene rá. Az angol nyelvű magyarázatnál valami olyan van hogy egy n tagú osztályból hányféleképpen lehet kiválasztani k fő diákönkormányzatost: ez (n alatt k). Viszont ha az osztályban van egy valaki aki "kilóg a sorból" akkor (n-1 alatt k) féleképpen lehet. És itt nem értem teljesen, hogy mi a magyarázata a folytatásnak, valami olyasmi, hogy k fős bizottság hányféleképpen választható az n tagú osztályból, hogy aki "kilóg a sorból" az mindenképpen benne legyen és ezek összege szintén ugyanannyi, mint n alatt k vagy valami ilyesmi. Remélem érthető voltam

Egy másik példa:
Az (n alatt 0)+(n alatt 1)+(n alatt 2)+ . . . +(n alatt n) = 2^n
Kombinatorikus bizonyítás:
Egy n fős osztályból hányféleképpen választhatunk bármennyi tagú diákképviseletet?
k fős képviseletet k=0-tól k=n-ig: (n alatt 0)+(n alatt1)+(n alatt 2)+ . . . + (n alatt n)
Mindegyik tanulóra igaz, hogy egyenként vagy benne van a diákképviseletben vagy sem: két opció, n tanulónál ez 2*2*2*2* . . . *2 = 2^n

Valahogy ugyanígy kéne az (n alatt k) = (n-1 alatt k)+(n-1 alatt k-1) bizonyítása.

Csatoltam képet. Én is küldöm a kombinatorikus és az algebrai (a jobb oldali két tag megfelelő bővítésének trükkjével történő) levezetést is. Valószínűleg arra gondoltál, hogy egy n tagú osztályból n alatt a k féleképpen tudunk k tagú küldöttséget delegálni. Ugyanezt a k tagú küldöttséget vizsgálhatjuk aszerint is, hogy egy konkrét tanuló az osztályból tagja e a delegációnak, vagy sem. Ha tagja, akkor ez n-1 alatt a k-1 féleképpen következhet be, ha pedig nem tagja, akkor az n-1 alatt a k féleképpen következik be. A lenti dián írt magyarázatom remélem segíti a megértést. Aki ilyen szintű problémákkal foglalkozik, az biztosan emelt szintű érettségit akar tenni matekból, ezért ha van kedved a szóbeli és írásbeli felvételihez is készítettem videókat a youtube csatornámon. Megtisztelsz, ha belenézel. Köszi!
https://www.youtube.com/watch?v=nKU1PIXg70Y&list=PLwXxAxAEOlGjbRrNnffp_7fsw90VSB9wD
https://www.youtube.com/watch?v=jc3bNjIf6_8&list=PLwXxAxAEOlGilzmOAUuCTDX3YecuFGZGz