ahhoz, hogy ez a kifejezés négyzetszám legyen, fel kell tudnunk írni a következő alakban:
4¹⁰+4¹⁶+4x=a²
vagyis kell léteznie a √ 4¹⁰+4¹⁶+4x =a pozitív egész számnak.
Ez azt jelenti, hogy a kifejezésnek átalakíthatónak kell lennie teljes négyzetes alakra ahhoz, hogy a gyökvonás után "szép" szám jöjjön ki.
Írjuk át a kifejezést 2 hatványaira:
2²⁰+2³²+22x
Az (a²+2ab+b²)=(a+b)² azonosság alapján alakítsuk át a kifejezésünket, egyelőre figyelmen kívül hagyva a 2³² tagot:
(2¹⁰+2x)²
Ez kibontva:
2²⁰+2·2¹⁰·2x+22x=2²⁰+211+x+22x
Tegyük fel, hogy ez egyenlő az eredeti kifejezésünkkel, vagyis
2²⁰+211+x+22x=2²⁰+2³²+22x
Ekkor 211+x=2³²
Ez definíció szerint csak akkor lehetséges, ha
11+x=32, tehát
x=21
Ezt visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe:
4¹⁰+4¹⁶+4²¹=4¹⁰(1+4⁶+4¹¹)=4¹⁰(1+4096+4 194 304)=4¹⁰·4 198 401=1 048 576·4 198 401=4 402 342 526 976
Ami a gyök alatt 2 098 176
Vagyis a kapott számunk négyzetszám lett.