a)
Ha n csúcs van, abból mindből n-3 másik csúcsba mehet átló (mert nem megy saját magába és a két szomszédosba). És mivel minden P-Q átló kijön úgy is, hogy a P csúcsból megy az átló a Q csúcsba, illetve a Q-ból is a P csúcsba, ezért felezni kell. Tehát n(n-3)/2 az átlók száma.
n(n-3)/2 = 27
n² - 3n = 54
n² - 3n - 54 = 0
Ennek megoldásai a másodfokú megoldóképlettel -6 és 9, ebből a -6 nem megoldás.

Tehát 9 oldalú a sokszög. Csúcsai legyenek A,B,C,D,E,F,G,H,I

b)
Ha a sokszög csúcsait összekötjük a köré írt kör középpontjával (O-val), kapunk 9 kis háromszöget. Erről érdemes rajzot csinálnod!
Az egyik csúcsból (mondjuk A-ból) húzd meg az átlókat is, háromféle hosszúságúak lesznek:
- AC = AH
- AD = AG
- AE = AF
Az AC átló hosszát az ACO háromszögből számolhatjuk koszinusztétellel:
AC² = AO² + CO² - 2·AO·CO·cos γ
AO=CO=3
γ=2·360°/9 = 80°
AC² = 2·9 - 2·9·cos 80°, számold ki
AD és AE hasonlóan megy, csak γ értéke 3·360°/9 illetve 4·360°/9 lesznek.

c)
3-féle különböző átlóhosszúság van (a,b,c), és a háromszög-egyenlőtlenség ezek minden kombinációjában fennáll (ezt ellenőrizd majd le, miután kiszámoltad az átlóhosszakat), tehát mindenféle kombinációval lehet háromszöget szerkeszteni:
- a,a,a; b,b,b; c,c,c
- a,a,b; a,a,c; b,b,a; b,b,c; c,c,a; c,c,b
- a,b,c
Ez 10-féle.
(Elvileg az a,c,b különbözik az a,b,c-től, annak tükörképe. Ha azt különbözőnek tekintjük, akkor 11 szerkeszthető.)