Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika
nagybernadett3
kérdése
3157
Egy szabályos sokszög átlóinak száma 27, köré írt körének sugara 3 cm.
a) Hány oldalú a szabályos sokszög?
b) Milyen hosszúságúak a sokszög átlói?
c) Hány olyan háromszög szerkeszthető, amelynek oldalhosszúságai megegyeznek a sokszög egy-egy átlójának hosszával?
a) Hány oldalú a szabályos sokszög?
b) Milyen hosszúságúak a sokszög átlói?
c) Hány olyan háromszög szerkeszthető, amelynek oldalhosszúságai megegyeznek a sokszög egy-egy átlójának hosszával?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
a)
Ha n csúcs van, abból mindből n-3 másik csúcsba mehet átló (mert nem megy saját magába és a két szomszédosba). És mivel minden P-Q átló kijön úgy is, hogy a P csúcsból megy az átló a Q csúcsba, illetve a Q-ból is a P csúcsba, ezért felezni kell. Tehát n(n-3)/2 az átlók száma.
n(n-3)/2 = 27
n² - 3n = 54
n² - 3n - 54 = 0
Ennek megoldásai a másodfokú megoldóképlettel -6 és 9, ebből a -6 nem megoldás.
Tehát 9 oldalú a sokszög. Csúcsai legyenek A,B,C,D,E,F,G,H,I
b)
Ha a sokszög csúcsait összekötjük a köré írt kör középpontjával (O-val), kapunk 9 kis háromszöget. Erről érdemes rajzot csinálnod!
Az egyik csúcsból (mondjuk A-ból) húzd meg az átlókat is, háromféle hosszúságúak lesznek:
- AC = AH
- AD = AG
- AE = AF
Az AC átló hosszát az ACO háromszögből számolhatjuk koszinusztétellel:
AC² = AO² + CO² - 2·AO·CO·cos γ
AO=CO=3
γ=2·360°/9 = 80°
AC² = 2·9 - 2·9·cos 80°, számold ki
AD és AE hasonlóan megy, csak γ értéke 3·360°/9 illetve 4·360°/9 lesznek.
c)
3-féle különböző átlóhosszúság van (a,b,c), és a háromszög-egyenlőtlenség ezek minden kombinációjában fennáll (ezt ellenőrizd majd le, miután kiszámoltad az átlóhosszakat), tehát mindenféle kombinációval lehet háromszöget szerkeszteni:
- a,a,a; b,b,b; c,c,c
- a,a,b; a,a,c; b,b,a; b,b,c; c,c,a; c,c,b
- a,b,c
Ez 10-féle.
(Elvileg az a,c,b különbözik az a,b,c-től, annak tükörképe. Ha azt különbözőnek tekintjük, akkor 11 szerkeszthető.)
Ha n csúcs van, abból mindből n-3 másik csúcsba mehet átló (mert nem megy saját magába és a két szomszédosba). És mivel minden P-Q átló kijön úgy is, hogy a P csúcsból megy az átló a Q csúcsba, illetve a Q-ból is a P csúcsba, ezért felezni kell. Tehát n(n-3)/2 az átlók száma.
n(n-3)/2 = 27
n² - 3n = 54
n² - 3n - 54 = 0
Ennek megoldásai a másodfokú megoldóképlettel -6 és 9, ebből a -6 nem megoldás.
Tehát 9 oldalú a sokszög. Csúcsai legyenek A,B,C,D,E,F,G,H,I
b)
Ha a sokszög csúcsait összekötjük a köré írt kör középpontjával (O-val), kapunk 9 kis háromszöget. Erről érdemes rajzot csinálnod!
Az egyik csúcsból (mondjuk A-ból) húzd meg az átlókat is, háromféle hosszúságúak lesznek:
- AC = AH
- AD = AG
- AE = AF
Az AC átló hosszát az ACO háromszögből számolhatjuk koszinusztétellel:
AC² = AO² + CO² - 2·AO·CO·cos γ
AO=CO=3
γ=2·360°/9 = 80°
AC² = 2·9 - 2·9·cos 80°, számold ki
AD és AE hasonlóan megy, csak γ értéke 3·360°/9 illetve 4·360°/9 lesznek.
c)
3-féle különböző átlóhosszúság van (a,b,c), és a háromszög-egyenlőtlenség ezek minden kombinációjában fennáll (ezt ellenőrizd majd le, miután kiszámoltad az átlóhosszakat), tehát mindenféle kombinációval lehet háromszöget szerkeszteni:
- a,a,a; b,b,b; c,c,c
- a,a,b; a,a,c; b,b,a; b,b,c; c,c,a; c,c,b
- a,b,c
Ez 10-féle.
(Elvileg az a,c,b különbözik az a,b,c-től, annak tükörképe. Ha azt különbözőnek tekintjük, akkor 11 szerkeszthető.)
0
- Még nem érkezett komment!