1. ábra

Kisebb átalakítások után könnyebben jellemezhető a függvény:

= `-2*(x^2-2x-3)` = `-2*(x-1)^2+8`

x E `RR`

y E `RR` , y `ge` 8

A függvény folytonos, az x = 1-ig szig. mon.növekvő, utána szig. mon. csökkenő

Maximuna van a (1;8) pontban

Két zérushely: (-1;0) és (3;0)

y tengelyt metszi a (0;6) pontban.


2,

`(x-2/5)*(x-3/4)` = `x^2` - `(2/5+3/4)*x` + `2/5*3/4` = `x^2` -`23/20*x` + `6/20` = 0

a törteket eltüntetjük: (szorzunk 20-szal minden tagot)

`20x^2` - 23x + 6 = 0

3, = `(2*(x^2+4x-45))/(3*(x^2-12x+35))` = `2/3*((x-5)(x+9))/((x-7)*(x-5))` = `(2*(x+9))/(3*(x-7))`

4,

legyenek a szám számjegyei x és x+2. Ekkor a szám értéke: 10x+x+2 = 11x+2; a felcserélt szám értéke: 10x+20+x = 11x+20.

Ekkor: `(11x+2)^2` + `(11x+20)^2` = 4034

`121x^2`+44x+4 + `121x^2`+440x+400 = 4034

`242*x^2`+484x+400 = 4034

`242*x^2`+484x = 3634 /:242

`x^2` + 2x -15 = 0

`(x-3)(x+5)` = 0

`x_1` = 3

`x_2` = -5 (nem lehet negatív)

A keresett szám tehát a 35 (vagy az 53, mivel felcserélhetők az elvégzett műveletek miatt).

Ellenőrzés: `35^2` + `53^2` = 1225 + 2809 = 4034

5,

Az egyik áru ára x Ft, a másiké x-20.

Az egyik áruból vettünk y kg-ot, a másikból y+2 kg-ot.

I. xy = 3600

II. (x-20)(y+2) = 3600

I. y = `3600/x`

II.

`(x-20)(3600/x-2)` = 3600

3600 -`72000/x` -2x + 40 = 3600 /*x

`2x^2` -40x-72000 = 0

`x^2` - 20x - 36000 = 0

Vagy megoldóképlet vagy szorzattá alakítás:

(x-200)(x+180) = 0

A negatív gyök nem jöhet szóba, szóval

x = 200

y = `3600/20` = 18

A 200 Ft-osból 18 db-ot vettünk, a (200-20) = 180 Ft-osból 20 db-ot.