Vegyünk fel egy Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert az euklideszi síkon és két egység hosszú vektort, melyekhez tartozó origó középpontú helyvektoroknak az x-tengely pozitív felével bezárt forgásszögeinek ívmértékei x és y. Írjuk fel ennek a két vektornak a skaláris szorzatát egyrészt a definíció alapján (a vektorok abszolút értékeinek és a bezárt szögük koszinuszának a szorzata), másrészt a koordinátáikkal (az első és a második koordináták szorzatainak az összege) Ügyeljünk arra, hogy több eset lehetséges x, y és a 0 egymáshoz viszonyított értékeinek függvényében. Ebből kapjuk a két szám különbségének koszinuszára vonatkozó azonosságot. Ezután ebből x+y = x-(-y), a pótszögek ívmértékeinek szögfüggvényei közötti összefüggések, illetve a tangens és kotangens szögfüggvények definícióinak felhasználásával kapjuk a többi azonosságot.