Nem tudom, hogy kell-e még...

Polárba váltás két dolgot jelent:
Egyrészt x és y megváltozik szögre meg sugárra:
`x=r·cos\ φ`
`y=r·sin\ φ`
Másrészt ha valami `dxdy` szerint van integrálva, abból `r·drdφ` lesz. (Ez a Jakobi mátrixból jön ki, de valószínű elég, ha csak ezt a végeredményt jegyzed meg.)

Szóval most az első rész szerint a függvényben lévő x és y átalakul így: (csak az exponenciális tag kitevőjét írom, máshol nincsenek x vagy y)
`x^2+y^2=(r·cos\ φ)^2+(r·sin\ φ)^2=r^2(cos^2φ+sin^2φ)=r^2`
Vagyis a teljes integrálandó függvény ez lett:
`f=2+2e^(r^2)`

Az integrálás egy körtartományban megy; annak nem is könnyű felírni a határait x és y esetén, de könnyű polárban: a szög 0-tól 2π-ig megy, a sugár pedig 0-tól R-ig:

`int_0^(2π) int_0^R (2+2e^(r^2))·r·drdφ`
(a belső integrál megy r szerint, a külső pedig a szög szerint. Lehetne fordítva is, mindegy.)
`int_0^(2π) int_0^R 2r+2r·e^(r^2)\ drdφ`

A belső integrál: az összeg külön-külön integrálható. A `2r`-ből r szerint integrálva `r^2` lesz, ami a határok miatt `R^2-0^2` vagyis 4. A másik tag kicsit bonyolultabb: rá kell jönni, hogy a kitevőben lévő `r^2` deriváltja éppen `2r`, amivel szorozva van, tehát a `2r·e^(r^2)` pontosan a deriváltja az `e^(r^2)`-nek. Ellenőrizd a láncszabállyal.

Vagyis a belső integrál:
`int_0^R 2r+2r·e^(r^2)\ dr = R^2+[e^(r^2)]_0^R=R^2+e^(R^2)-e^0=4+e^(4)-1=3+e^(4)`

A külső integrál:
`int_0^(2π) 3+e^(4)\ dφ`
Nincs benne φ, vagyis konstans integrálja = konstans szor φ:
`int_0^(2π) 3+e^(4)\ dφ=[(3+e^(4))φ]_0^(2π)=(3+e^(4))2π-0=6π+2πe^(4)`