Keresés

Keresendő kifejezés:

Toplista

Toplista
  • betöltés...

Segítség!

Ahhoz, hogy mások kérdéseit és válaszait megtekinthesd, nem kell beregisztrálnod, azonban saját kérdés kiírásához ez szükséges!

érettségi

365
oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán
a: sinx + cosx = 0
b: log₂x+log₄x+log₈x=11/6log₂(x²-6)
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika

Válaszok

2
a)
sin x = -cos x
Ha cos x ≠ 0, oszthatunk vele. Ellenőrizni kell ilyenkor, hogy cos x = 0 ad-e megoldást, de nem ad.
tg x = -1
x = -π/4 + k·π

b)
Kikötések:
- x > 0
- (x²-6) > 0, vagyis x < -√6 vagy x > √6
A kettő együtt azt jelenti, hogy x > √6

Váltsunk mindent 2-es alapú logaritmusra:
log₄ x = log₂ x / log₂ 4 = log₂ x / 2
log₈ x = ... = log₂ x / 3
log₂ x · (1 + 1/2 + 1/3) = 11/6 · log₂(x²-6)
log₂ x = log₂(x²-6)
Mivel a logaritmus monoton függvény, az értelmezési tartományban igaz az, hogy
x = x²-6
x² - x - 6 = 0
x₁ = -2
x₂ = 3
Ezekből x₂ elégíti ki csak a kikötést, tehát x=3
0

a) sinx + cosx = 0
Ha nem írjuk oda, hogy miért oszthatunk itt cosx-szel, akkor a feladat hibás.
Ha ezt el szeretnénk kerülni, akkor egy másik megoldás:

sinx + cosx = 0

Emeljünk mindkét oldalon négyzetre:
(sinx + cosx)2 = 0
sin2x+2sinxcosx + cos2x = 0

Tudjuk, hogy
sin2x+cos2x = 1
2sinxcox = sin2x

Ezeket behelyettesítve:
1 + sin2x = 0
sin2x = -1
2x = 3π/2 +k 2π
x = 3π/4 +kπ
0