Matek hazi

Melyikben? Vagy az összes?

1a) Egy szám akkor osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal. 2-vel akkor osztható egy szám, hogyha a 0;2;4;6;8 számok valamelyikére végződik, 3-mal akkor, hogyha a számjegyek összege osztható 3-mal.

10¹⁰ utolsó számjegye 0, 14 utolsó számjegye 4, 0+4=4, tehát 2-vel osztható lesz.
10 minden pozitív egész hatványa 1 darab 1-esből és valamennyi 0-ból áll, így ebben a számjegyek összege 1, a 14-ben a számjegyek összege 1+4=5, így az összegben a számjegyek összege 6 lesz, ez osztható 3-mal.
Mindkét kritérium teljesül, tehát a szám osztható lesz 6-tal.

b) Egy szám akkor osztható 5-tel, hogyha 0-ra vagy 5-re végződik. A 11 minden hatványa 1-re végződik, mivel 1*1=1, ha ehhez hozzáadunk 4-et, akkor az összeg 5-re fog végződni, tehát az összeg osztható lesz 5-tel.

2a) Hatványozásos feladatnál érdemes átírni azonos alapra, itt most célszerű 2-esre:

8³=(2³)³=23*3=2⁹
4³=(2²)³=22*3=2⁶
2¹⁰=2¹⁰
64²=(2⁶)²=26*2=2¹², tehát ezt kapjuk:

2⁹*2⁶:(2¹⁰*2¹²), használjuk a hatványozás azonosságát:
2¹⁵:2²²=1/2⁷=1/128

b) Itt arra érdemes törekedni, hogy 5-ös alapú hatvány legyen, mivel a logaritmus alapja is 5, és úgy lehet majd használni a definíciót;

25=5², tehát (5²)log5(10)-1=

52*(log5(10)-1)=

=5(log5(10²)-2)=

=5log5(10²)*5-2

A szorzat első tényezője definíció szerint 10²=100-zal egyenlő, a második 1/25-del, tehát 100*1/25=4, így a kifejezés értéke 4.

c) A másodiknál az osztó tört reciprokával szorzunk, tehát ez lesz belőle:

(x²-25)/(x²-4x) * (x²-16)/(x²+5x), a különböző részeket szorzatalakban írjuk fel:

x²-25=(x-5)*(x+5)
x²-4x=x*(x-4)
x²-16=(x-4)*(x+4)
x²+5x=x*(x+5), tehát

[(x-5)*(x+5)]/[x*(x-4)] * [(x-4)*(x+4)]/[x*(x+5)]

Itt már lehet látni, hogy egy csomó mindennel lehet egyszerűsíteni, így marad:

[(x-5)] / [(x+4)], ez abban az esetben igaz, hogyha sehol sem osztottunk 0-val, tehát

x*(x-4)≠0, tehát x≠0 és x≠4
x*(x+5)≠0, tehát x≠0 és x≠-5
(x+4)*(x-4≠0, tehát x≠4 és x≠-4

3. Nem lehetnek egyenlőek, mivel 2-√5=√4-√5, és mivel √4<√5, ezért √4-√5 értéke negatív, míg a másik kifejezés vagy legalább 0, vagy nem értelmes; 9=√ 81 , 4*√5=√ 16 *√5=√ 80 , tehát a bal oldali kifejezés értelmes, de akkor sem lehet az értéke negatív.

4. 14-(3*4+8:2), mivel =14-(12+4)=14-16=-2.

5. Az egyenes arányosság elvét kell követni;
1 egér 3 nap alatt 1 sajtot eszik meg.
1 egér 1 nap alatt 1/3 sajtot eszik meg.
6 egér 1 nap alatt 1/3*6=2 sajtot eszik meg.
6 egér 6 nap alatt 2*6=12 sajtot eszik meg.

A 3-nak a 12 a négyszerese, vagyis 400%-a, viszont az a kérdés, hogy hány százalékkal esznek többet; mivel 9-cel esznek többet, és az a 3-nak a háromszorosa, tehát a 300%-a, ezért 300%-kal többet esznek.

6. Ehhez prímtényezőkre kell bontanunk:

120|2
60|2
30|2
15|3
5|5
1

180|2
90|2
45|3
15|3
5|5
1

Tehát 120=2³*3*5, 180=2²*3²*5

A legnagyobb közös osztót úgy tudjuk meghatározni, hogy ami mindkettőben megtalálható, azokat kiszedjük, ezek: 2², 3, 5, ezek szorzata lesz a legnagyobb közös osztó: 2²*3*5=60

A legkisebb közös többszörös: tehát azt a legkisebb számot keressük, ami mindkettővel osztható; 2³ és 2² közül a 2³-nt választjuk, mivel ha a 2²-nt választanánk, akkor a kapott szám nem lenne osztható 2³-nal, így 120-szal. Ugyanígy a 3²-et és az 5-öt választjuk ki, tehát 2³*3²*5=360.

Azt érdemes még tudni, hogy a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös megegyezik a két szám szorzatával. Ellenőrzésként lehet használni:

120*180=21600
60*360=21600, tehát jól számoltunk.

24000 forint 15%-a 24000*15/100=3600 forint, ezzel csökkentették, így az új ára 24000-3600=20400 forint.

Ha vissza akarjuk csinálni, akkor a 20400-at 3600-zal kell növelnünk, ez a 20400-nak a 3600/20400*100=~17,6471%-a, tehát ennyivel kell növelni.

Ha valami nem világos, kérdezz!