Ha jól értem, akkor ez két külön egyenlet szeretne lenni.

1. Tudjuk, hogy sin²(x)+cos²(x)=1, vagyis cos²(x)=1-sin²(x), ezt beírjuk cos²(x) helyére:

2*(1-sin²(x))+1=5*sin(x) | zárójelbontás
2-2*sin²(x)+1=5*sin(x) | összevonás
-2*sin²(x)+3=5*sin(x) | redukáljuk a bal oldalt 0-ra
0=2*sin²(x)+5*sin(x)-3 | legyen sin(x)=z
0=2z²+5z-3, ez egy másodfokú egyenlet, amit már meg tudunk oldani;

z₁=1/2, z₂=-3. Mivel z=sin(x) volt, ezért

sin(x)=1/2, ennek a megoldásai x=π/6+k*2π és x=5π/6+k*2π, ahol k tetszőleges egész szám
sin(x)=-3, ennek pedig a valós számok halmazán nincs megoldása, mivel a valós számok halmazán értelmezett sin(x) függvény értékkészlete a [-1;1] intervallum, ebben pedig a -3 nem szerepel.

2. 4x+|x+1|=32 | a bal oldal 4=2², a jobb oldal 32=2⁵
(2²)x+|x+1|=2⁵ | a hatványozás azonosságát használjuk a bal oldalon
22*(x+|x+1|)|=2⁵

A 2x függvény szigorú monotonitása miatt ezek csak akkor egyenlők, hogyha a kitevők egyenlők, tehát

2*(x+|x+1|)=5

Innen esetszétválasztással haladunk tovább; ha az ||-en belül az érték 0 vagy pozitív, vagyis ha x+1≥0, tehát x≥-1, akkor a szám abszolutértéke önmaga lesz, tehát |x+1|=x+1, vagyis:

2*(x+x+1)=5 | összevonás
2*(2x+1)=5 | zárójelbontás
4x+2=5 | -2
4x=3 | :4
x=3/4, ez benne van az x≥-1 tartományban, tehát ez egy jó megoldás, de lehet ellenőrizni is.

Ha x+1 negatív, tehát ha x+1<0, tehát x<-1, akkor annak az abszolutértéke az ellentettje lesz, tehát |x+1|=-(x+1)=-x-1, vagyis

2*(x-x-1)=5, erre -2=5-öt kapjuk, értelemszerűen ez nem igaz, tehát az x<-1 intervallumon nincs megoldása az egyenletnek.

(Abszolutértéket a CTRL+W kombinációval tudsz írni.)

2cos²x+1=5sinx

Alkalmazod a sin2x+cos2x+1=1 azonosságot, azaz
cos2x=1-sin2x beíros a cos2x helyére.

2(1-sin2x )+1 = 5sinx
2-2sin2x+1 = 5sinx
3-2sin2x - 5sinx=0
-2sin2x - 5sinx+3=0

sinx-re egy másodfokú egyenletet kaptal, y=sinx

3-2y2-5y=0
-2y2-5y+3=0

megoldóképlettel megoldva
y1= 1/2
y2= -3

y1= 1/2
sin2x= 1/2 esetén
x1=π/6 + k2π, k∈Z
x2=5π/3 + k2π, k∈Z

y2= -3
sin2x= 3 esetén nincs megoldás, mert sinx∈[-1;1] intervallumnak