Fizika

A test mozgás a v₀ sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgás és a g (gravitációs) gyorsulású egyenes vonalú, egyenletesen gyorsuló mozgás összegeként áll elő. Így a test helyzetére vonatkozó egyenlet:
h=v₀t-gt²/2
A felfelé irányuló kezdősebesség növeli a magasságot, míg a lefelé mutató gravitációs gyorsulás csökkenti azt, ezért az előjelek.
A test sebessége kezdetben v₀, majd másodpercenként 10 m/s-mal csökken. Így a test sebességére vonatkozó egyenlet:
v=v₀-gt
a) A test akkor éri el a maximális magasságot, amikor v=0, tehát 0=v₀-gt. Ebből t=v₀/g
Ezt visszahelyettesítve a test helyzetére vonatkozó h=v₀t-gt²/2 egyenletbe, kapjuk:
h=v₀²/g-v₀²/(2g)=v₀²/(2g)
Behelyettesítve az adatokat, kapjuk: h=20 m

b) A sebességre vonatkozó egyenlet v=v₀-gt, ahol most v=10 m/s. Ebből kifejezve az időt: t=(v₀-v)/g
Az egyszerűbb alak kedvéért számoljuk ki az időt:
t=1 s
Ezt (és a többi adatot) helyettesítjük most be a h-ra vonatkozó egyenletbe:
h=v₀t-gt²/2=15 m

Egyenletesen gyorsuló mozgást végző test t idő alatt

s(t)=(a/2)*t²+v₀*t utat tesz meg. Esetünkben a=-g=-10 m/s², v₀=20 m/s, tehát

s(t)=-5t²+20t, ennek keressük a maximumát. Tudjuk, hogy a másodfokú függvény szélsőértékhelye a gyökök (ahol a függvény 0) átlagánál van. Ennek a függvénynek a gyökei t=0 és t=4 esetén lesz, ezek átlaga 2, tehát a t=2 időpillanatban lesz maximumán a labda, ekkor -5*2²+20*2=20 méter.

A test sebessége az v₀+a*t képletből jön ki t függvényében. Azt akarjuk, hogy ennek nagysága 10 m/s legyen erre két lehetőségünk van; vagy 10 m/s, vagy -10 m/s, tehát

10=20+(-10)*t, ennek megoldása t=1

Azt tudjuk, hogy a t=2 időpillanatban lesz a labda a csúcspontján, ekkor sebessége 0 lesz, innentől a g nehézségi gyorsulás gyorsítani fogja a testet, tehát

10=10*T, erre 1=T adódik. itt a T azt mutatja, hogy t=2 után mi történik, tehát a t=2+1=3 időpillanatban lesz a sebessége 10 m/s.

Az s(t)=(a/2)*t²+v₀*t képletből kiszámoljuk, milyen magasan volt a labda a különböző esetekben:

t=1: -5*1²+20*1=15 m
t=3: -5*3²+20*3=15 m

Nem meglepő, hogy ugyanazt a magasságot kaptuk, lévén az elmozdulás függvénye szimmetrikus.