Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Tud valaki a ∑i^k (i=1,2,3...n)-ra explicit alakot?
SprinT3X
{ Matematikus } kérdése
496
Tud valaki a ∑i^k (i=1,2,3...n)-ra explicit alakot?
k=1-re n(n+1)/2
k=2-re n(n+1)(2n+1)/6
Kérdés hogy lehet felírni bármilyen k-ra anélkül hogy az összes előző polinomot meghatároznánk.
k=1-re n(n+1)/2
k=2-re n(n+1)(2n+1)/6
Kérdés hogy lehet felírni bármilyen k-ra anélkül hogy az összes előző polinomot meghatároznánk.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
explicit, summa, i^k
explicit, summa, i^k
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
3
Rantnad
{ 
}
válasza
Nem tartom valószínűnek, hogy van rá explicit képlet, azonban van módszer arra, hogy megadjuk tetszőleges kitevőre a képletet anélkül, hogy bármelyik előtte lévőt tudnánk; tudjuk, hogy 1k+2k+... összeg képlete egy k+1-ed fokú polinom, tehát megadható ak+1*xk+1+ak*xk+...+a₁x+a₀ alakban. Azt is tudjuk, hogy egy n-edfokú polinomot n+1 pontja egyértelműen meghatározza, ez k+1 fokszám esetén k+2 pontot jelent. Ha kiszámoljuk az első 1;2;...;k+2 tag összegét, és ezeket felírjuk mint a polinom helyettesítési értékeit, akkor egy k+2 egyenletből és ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert kapunk, ami azért "könnyen" (programmal polinomidőben) megoldható.
Nézzük például a k=5 eset. Ebben az esetben az összegképlet egy hatodfokú polinom lesz, vagyis Ax⁶+Bx⁵+Cx⁴+Dx³+Ex²+Fx+G alakban. Írjuk fel az első 7 tag összegét:
1⁵=1
1⁵+2⁵=33
1⁵+2⁵+3⁵=276
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵=1300
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵=4425
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵+6⁵=12201
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵=29008, ezeket felírjuk, mint az 1;2;3;...;7-hez tartozó helyettesítési értékeket:
A*1⁶+B*1⁵+C*1⁴+D*1³+E*1²+F*1+G=1
A*2⁶+B*2⁵+C*2⁴+D*2³+E*2²+F*2+G=33
A*3⁶+B*3⁵+C*3⁴+D*3³+E*3²+F*3+G=276
A*4⁶+B*4⁵+C*4⁴+D*4³+E*4²+F*4+G=1300
A*5⁶+B*5⁵+C*5⁴+D*5³+E*5²+F*5+G=4425
A*6⁶+B*6⁵+C*6⁴+D*6³+E*6²+F*6+G=12201
A*7⁶+B*7⁵+C*7⁴+D*7³+E*7²+F*7+G=29008, ez egy 7 egyenletből és 7 ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer, amit meg tudunk oldani (többek között Gauss-eliminációval), ahol a megoldások az összegképlet-polinom együtthatói lesznek.
Sajnos a WolframAlpha ennyi karaktert már nem tud kezelni, de léteznek más programok, amik ki tudják ezt számítani. Régen viszont találtam egy olyan oldalt, ami pontokra meg tudta adni a rájuk fektethető legkisebb fokszámú polinomot, sajnos most nem találtam meg, de ha megtalálom újra, jelzem.
Nézzük például a k=5 eset. Ebben az esetben az összegképlet egy hatodfokú polinom lesz, vagyis Ax⁶+Bx⁵+Cx⁴+Dx³+Ex²+Fx+G alakban. Írjuk fel az első 7 tag összegét:
1⁵=1
1⁵+2⁵=33
1⁵+2⁵+3⁵=276
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵=1300
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵=4425
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵+6⁵=12201
1⁵+2⁵+3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵=29008, ezeket felírjuk, mint az 1;2;3;...;7-hez tartozó helyettesítési értékeket:
A*1⁶+B*1⁵+C*1⁴+D*1³+E*1²+F*1+G=1
A*2⁶+B*2⁵+C*2⁴+D*2³+E*2²+F*2+G=33
A*3⁶+B*3⁵+C*3⁴+D*3³+E*3²+F*3+G=276
A*4⁶+B*4⁵+C*4⁴+D*4³+E*4²+F*4+G=1300
A*5⁶+B*5⁵+C*5⁴+D*5³+E*5²+F*5+G=4425
A*6⁶+B*6⁵+C*6⁴+D*6³+E*6²+F*6+G=12201
A*7⁶+B*7⁵+C*7⁴+D*7³+E*7²+F*7+G=29008, ez egy 7 egyenletből és 7 ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer, amit meg tudunk oldani (többek között Gauss-eliminációval), ahol a megoldások az összegképlet-polinom együtthatói lesznek.
Sajnos a WolframAlpha ennyi karaktert már nem tud kezelni, de léteznek más programok, amik ki tudják ezt számítani. Régen viszont találtam egy olyan oldalt, ami pontokra meg tudta adni a rájuk fektethető legkisebb fokszámú polinomot, sajnos most nem találtam meg, de ha megtalálom újra, jelzem.
1
- Még nem érkezett komment!
Rantnad
{ }
megoldása
Például ez egy jó oldal:
http://www.dcode.fr/lagrange-interpolating-polynomial
Ha alulra beírod ezt:
(1,1) (2,33) (3,276) (4,1300) (5,4425) (6,12201) (7,29008)
Akkor kiadja a megfelelő hatodfokú polinomot:
x⁶/6 +x⁵/2 + 5x⁴/12 - x²/12
Ugyan nem bizonyítás, de ha hozzáveszed a (8, 61776) tagot is a fentiekhez, akkor ugyanazt a polinomot fogod kapni (a bizonyítás teljes indukcióval megy), tehát ez lesz a megfelelő összegképlet.
Ugyanezt meg tudod csinálni tetszőleges fokra; a pontok első koordinátái azok a számok, ameddig futtatni akarod az indexet, vagyis hogy hány tagot adsz össze (egyet, kettőt, hármat, stb.), a második koordináta pedig az addig a tagig vett összeg.
Ha valami nem világos, kérdezz.
http://www.dcode.fr/lagrange-interpolating-polynomial
Ha alulra beírod ezt:
(1,1) (2,33) (3,276) (4,1300) (5,4425) (6,12201) (7,29008)
Akkor kiadja a megfelelő hatodfokú polinomot:
x⁶/6 +x⁵/2 + 5x⁴/12 - x²/12
Ugyan nem bizonyítás, de ha hozzáveszed a (8, 61776) tagot is a fentiekhez, akkor ugyanazt a polinomot fogod kapni (a bizonyítás teljes indukcióval megy), tehát ez lesz a megfelelő összegképlet.
Ugyanezt meg tudod csinálni tetszőleges fokra; a pontok első koordinátái azok a számok, ameddig futtatni akarod az indexet, vagyis hogy hány tagot adsz össze (egyet, kettőt, hármat, stb.), a második koordináta pedig az addig a tagig vett összeg.
Ha valami nem világos, kérdezz.
1
- Még nem érkezett komment!
bongolo
{ }
válasza
A Bernoulli számok segítségével felírható zárt alakban. Lásd mondjuk itt:
https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula
https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber%27s_formula
1
- Még nem érkezett komment!