Milyen "egyszerű egyenleteket"? Hányadikos vagy?

Elsőfokú egyenleteknél nincs nagy varázslat; arra hajtunk, hogy x=valami szám alakra rendezzük az egyenletet (illetve ha más ismeretlen van, akkor x helyett az a betű/szimbólum, de túlnyomó többségben x van). Amit tehetünk:
-szabadon hozzáadhatunk/elvehetünk valamelyik oldalból, de ha ezt megtesszük, akkor a másik oldalon is meg kell tennünk
-ugyanez igaz a szorzásra és az osztásra is, amennyiben azt nem 0-val akarjuk megtenni.
Elsőfokú (lineáris) egyenleteknél mást nem szoktunk tenni, de vannak más műveletek is (hatványozás, gyökvonás, logaritmus, stb.), amikre ugyanezek igazak, de ezeket bonyolultabb egyenleteknél használjuk. Ezt a megoldási módot mérlegelvnek nevezzük (ha a kétkarú mérleg egyik serpenyőjével csinálsz valamit, akkor ugyanazt elvégezve a másik serpenyővel is a tárcsák egyensúlyban maradnak)

Vegyünk néhány egyszerűbb példát:

x+2=5, ezt az egyenletet úgy tudjuk megoldani, hogy mindkét oldalból elveszünk 2-t:
x+2-2=5-2, elvégezzük a műveleteket:
x=3, tehát az egyenlet megoldása az, hogy úgy lesz igaz, hogyha x helyére 3-at írunk. Ellenőrzés: 3+2=5, 5=5, tehát jól számoltunk.

x-6=2, ezt úgy tudjuk megoldani, hogyha mindkét oldalhoz hozzáadunk 6-ot:
x=8.

Szorzásnál/osztásnál ugyanez igaz lesz:

3x=15, osztunk 3-mal, x=5 a megoldás.
x/8=6, szorzunk 8-cal: x=48.

Összeadás/kivonás esetén nem csak számokat mozgathatunk, hanem ismeretleneket is, például:

2x+5=x+3, itt mindkét oldalon található x, te mi arra hajtunk, hogy csak az egyik oldalon legyen, ezért először vonjunk ki mindkét oldalból x-et:
2x+5-x=x+3-x. A bal oldalon álló 2x a szorzás definíciója szerint felírható x+x alakban:
x+x+5-x=x+3-x. Mivel x-x=0, ezért azokat összevonva ez marad:
x+5=3, itt még kivonunk 5-öt: x=-2. ellenőrzés:
bal oldal: 2*(-2)+5=-4+5=1
jobb oldal: -2+3=1, 1=1, tehát jól számoltunk.

Másik példa: 5x+6=3x+6, kivonunk 3x-et:
5x+6-3x=3x+6-3x, szétbontjuk definíció szerint:
x+x+x+x+x+6-x-x-x=x+x+x+6-x-x-x, itt megeszik egymást az x-et, így marad:
x+x+6=6, a bal oldalon a szorzás definíciója szerint x+x=2*x, tehát
2x+6=6, kivonunk 6-ot:
2x=0, osztunk 2-vel:
x=0, ezt nem nehéz ellenőrizni, hogy igazzá teszi.

Ha jobban megfigyeled, a bal oldalon ezt kaptuk: 5x-3x=2x, vagyis 5-3=2, így ha ismeretleneket mozgatunk, akkor az összevonás eredményét úgy kapjuk, hogy nemes egyszerűséggel a számokkal elvégezzük a műveletet, és amit kapunk eredménynek, annyi x-ünk lesz.

Érdemes meggondolni, hogy egy lineáris egyenletnek hány megoldása lehet; azt láttuk, hogy lehet 1 megoldása. 0 megoldásra is tudunk példát adni, például:
x=x+1, ha kivonunk x-et, akkor 0=1-et kapunk, ami értelemszerűen nem igaz, tehát az egyenletnek nincs megoldása (0 megoldása van). Tekintsük a következő egyenletet:
x=x, ha kivonunk x-et, akkor 0=0-hoz jutunk, tehát ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van, az ilyen alakú egyenleteket azonosságnak nevezzük.

Ez a három variáció létezik az algebra főtételének következtében, amit egyelőre nem kell tudnod, a lényeg az, hogy ilyen egyenleteknek 0, 1 vagy végtelen sok megoldása lehet, tehát nem állunk neki, 2,3,4,... megoldást keresni.

A lineáris egyenlet 2 módon bonyolítható még: ha tartalmaz zárójeles tagokat, illetve ha törtek szerepelnek benne. Mivel még csak az alapoknál járunk, ezért ezekkel majd a későbbiekben foglalkozunk.