Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Matematika
nagybernadett3
kérdése
885
Kedves ismerősünk Viktor üdülőjében kör alakú szökőkutat építtetett Elek mesterrel. Úgy tervezi, hogy
a ház teraszáról két út indulna, amelyek érintik a szökőkút szélét. Kedveli a matematikát, így megadja a
szökőkút körének egyenletét (x-1)^2+(y-2)^2=25
, valamint az egyik érintési pont koordinátáit E(5; 5)
(egy egység 1 m).
a) Lehet-e a terasz a T(11; –3) pontban? Válaszát számolással igazolja!
b) Milyen hosszú lesz a tervezett két út?
c) A szökőkút közepén egy 1 m alapélű szabályos nyolcszög alapú gúla tetejéből jön a víz. Milyen magas a gúla, ha 3,9 m^3 víz van benne? Az eredményt egy tizedesre kerekítse!
a ház teraszáról két út indulna, amelyek érintik a szökőkút szélét. Kedveli a matematikát, így megadja a
szökőkút körének egyenletét (x-1)^2+(y-2)^2=25
, valamint az egyik érintési pont koordinátáit E(5; 5)
(egy egység 1 m).
a) Lehet-e a terasz a T(11; –3) pontban? Válaszát számolással igazolja!
b) Milyen hosszú lesz a tervezett két út?
c) A szökőkút közepén egy 1 m alapélű szabályos nyolcszög alapú gúla tetejéből jön a víz. Milyen magas a gúla, ha 3,9 m^3 víz van benne? Az eredményt egy tizedesre kerekítse!
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
l.brigi97
válasza
a)Lehet a szökőkút a megadott pontokban, mert az E és a T pontok egyenlete és a K (kör középpontja) és az E egyenlete merőleges.
E és T pontok egyenletének normálvektora= n(-3,4)
E és K pontok egyenletének mormálvektora= n(8,6)
Két egyenes merőleges, ha normálvekoraik szorzata egyenlő= képlet= A1*A2=-B1*B2
8*(-3)=-6*4
-24=-24
b) Tervezett út az E és a T pont távolsága.
d=(x2-x1)2+(y2-y1)2 <-ez az egész gyök alatt
d= √ 36+64 =√ 100 =10 egység hosszú az út
c) a= 1 m n=8 r=5 V=3,9 m3
V=n*a*r*m/6
3,9=8*1*5*m/6
23,4=40*m
m=0,585=0,6 méter
E és T pontok egyenletének normálvektora= n(-3,4)
E és K pontok egyenletének mormálvektora= n(8,6)
Két egyenes merőleges, ha normálvekoraik szorzata egyenlő= képlet= A1*A2=-B1*B2
8*(-3)=-6*4
-24=-24
b) Tervezett út az E és a T pont távolsága.
d=(x2-x1)2+(y2-y1)2 <-ez az egész gyök alatt
d= √ 36+64 =√ 100 =10 egység hosszú az út
c) a= 1 m n=8 r=5 V=3,9 m3
V=n*a*r*m/6
3,9=8*1*5*m/6
23,4=40*m
m=0,585=0,6 méter
Módosítva: 7 éve
0
- Még nem érkezett komment!
Rantnad
{ 
}
megoldása
a) Másik lehetőség: felírjuk az E pontban érintő egyenes egyenletét. A kör középpontja (1;2), így az egyenes normálvektora KE→=(4;3), így az egyenes egyenlete: 4x+3y=4*5+3*5=35, vagyis 4x+3y=35 az érintő egyenlete. Ha ezt az egyenletet igazzá teszik a T pont koordinátái, akkor lehet a T pontban: 4*11+3*(-3)=44-9=35=35, igazzá teszi, tehát lehet.
b) Ha a T pontban áll a terasz, akkor azt már megválaszolták. Ha viszont az egyenes bármely pontján lehet, akkor rendezzük az egyenlet y-ra: y=(35-4x)/3, tehát az egyenes pontjai felírhatóak (x ; y)=(x ; (35-4x)/3) alakban, ennek az (5;5) ponttól vett távolsága:
√ (5-x)²+(5-(35-4x)/3)² =√ (25/9)*(x-5)² =(5/3)*|x-5|, és mivel ez egy szép eredmény, ezért valószínűnek tartom, hogy ez volt az eredeti kérdés. Mivel ez 1 út hossza, ezért a kúthoz (10/3)*|x-5| egység hosszú utat építünk.
c) A gúla térfogatához kell az alaplap területe, ami esetünkben egy 1 méter oldalhosszú szabályos nyolcszög. Ha a csúcsokat összekötjük a nyolcszög középpontjával, akkor a nyolcszöget 8 egyenlő szárú háromszögre bontottuk, ahol a szárak hajlásszöge 360°/8=45°. Általában úgy szoktuk kiszámolni a magasság hosszát, hogy behúzásával két derékszögű háromszögre bontjuk a háromszöget, ami felezi az alapot és a szöget, annak a szinuszának/koszinuszának felírásával kijön a magasság, de mivel tudjuk, hogy cos(45°)=sin(45°)=√2/2, ezért a pontos eredmény megadásához érdemesebb inkább a koszinusztételt használni; ha a szárak hossza b, akkor a koszinusztétel szerint:
1²=b²+b²-2*b*b*cos(45°)
1=2b²-√2*b²
1=b²*(2-√2)
1/(2-√2)=b², itt érdemes 2+√2-vel bővíteni:
(2+√2)/(4-2)=(2+√2)/2=b²
√ (2+√2)/2 méter=b, majd használhatjuk a szinuszos területképletet:
b*b*sin(α)/2=b²*sin(α)/2, szerencsére b² értékét tudjuk, így nem kell külön négyzetre emelni: (2+√2)/2*sin(45°)/2=(2+√2)/2*(√2/2)/2=(2*√2+2)/8=(√2+1)/4 négyzetméter 1 háromszög területe, nekünk ebből 8 van, tehát a nyolcszög területe 8*(√2+1)/4=2*(√2+1) négyzetméter.
Ha a test magassága M, akkor a gúla térfogata 2*(√2+1)*M/3, M-et úgy kell megválasztanunk, hogy a térfogat 3,9 legyen, tehát:
2*(√2+1)*M/3=3,9, erre
M=5,85/(√2+1) méter adódik. Itt is érdemes bővíteni (√2-1)-gyel, ekkor 5,85*(√2-1)/(2-1)=5,85*(√2-1) lesz az eredmény, ezt már könnyen ki tudjuk számolni: lefelé kerekítve 2,4 métert kapunk a magasságra, felfelé kerekítve 2,5 métert, lévén 3,9 m³ víznek kell benne lennie, ezért felfelé érdemesebb kerekíteni.
Találtam egy nagyon hasznos oldalt, ami a gúla különböző paramétereit ki tudja számolni:
http://www.calculat.org/hu/terfogat-felszin/gula.html
Ez alapján a=1 és m=2,4 esetén a gúla térfogata ~3,86 m³, m=2,5 esetén 4,02 m³, tehát azt akarjuk, hogy 3,9 m³ víz legyen benne, akkor a felfelé kerekítést kell választanunk.
b) Ha a T pontban áll a terasz, akkor azt már megválaszolták. Ha viszont az egyenes bármely pontján lehet, akkor rendezzük az egyenlet y-ra: y=(35-4x)/3, tehát az egyenes pontjai felírhatóak (x ; y)=(x ; (35-4x)/3) alakban, ennek az (5;5) ponttól vett távolsága:
√ (5-x)²+(5-(35-4x)/3)² =√ (25/9)*(x-5)² =(5/3)*|x-5|, és mivel ez egy szép eredmény, ezért valószínűnek tartom, hogy ez volt az eredeti kérdés. Mivel ez 1 út hossza, ezért a kúthoz (10/3)*|x-5| egység hosszú utat építünk.
c) A gúla térfogatához kell az alaplap területe, ami esetünkben egy 1 méter oldalhosszú szabályos nyolcszög. Ha a csúcsokat összekötjük a nyolcszög középpontjával, akkor a nyolcszöget 8 egyenlő szárú háromszögre bontottuk, ahol a szárak hajlásszöge 360°/8=45°. Általában úgy szoktuk kiszámolni a magasság hosszát, hogy behúzásával két derékszögű háromszögre bontjuk a háromszöget, ami felezi az alapot és a szöget, annak a szinuszának/koszinuszának felírásával kijön a magasság, de mivel tudjuk, hogy cos(45°)=sin(45°)=√2/2, ezért a pontos eredmény megadásához érdemesebb inkább a koszinusztételt használni; ha a szárak hossza b, akkor a koszinusztétel szerint:
1²=b²+b²-2*b*b*cos(45°)
1=2b²-√2*b²
1=b²*(2-√2)
1/(2-√2)=b², itt érdemes 2+√2-vel bővíteni:
(2+√2)/(4-2)=(2+√2)/2=b²
√ (2+√2)/2 méter=b, majd használhatjuk a szinuszos területképletet:
b*b*sin(α)/2=b²*sin(α)/2, szerencsére b² értékét tudjuk, így nem kell külön négyzetre emelni: (2+√2)/2*sin(45°)/2=(2+√2)/2*(√2/2)/2=(2*√2+2)/8=(√2+1)/4 négyzetméter 1 háromszög területe, nekünk ebből 8 van, tehát a nyolcszög területe 8*(√2+1)/4=2*(√2+1) négyzetméter.
Ha a test magassága M, akkor a gúla térfogata 2*(√2+1)*M/3, M-et úgy kell megválasztanunk, hogy a térfogat 3,9 legyen, tehát:
2*(√2+1)*M/3=3,9, erre
M=5,85/(√2+1) méter adódik. Itt is érdemes bővíteni (√2-1)-gyel, ekkor 5,85*(√2-1)/(2-1)=5,85*(√2-1) lesz az eredmény, ezt már könnyen ki tudjuk számolni: lefelé kerekítve 2,4 métert kapunk a magasságra, felfelé kerekítve 2,5 métert, lévén 3,9 m³ víznek kell benne lennie, ezért felfelé érdemesebb kerekíteni.
Találtam egy nagyon hasznos oldalt, ami a gúla különböző paramétereit ki tudja számolni:
http://www.calculat.org/hu/terfogat-felszin/gula.html
Ez alapján a=1 és m=2,4 esetén a gúla térfogata ~3,86 m³, m=2,5 esetén 4,02 m³, tehát azt akarjuk, hogy 3,9 m³ víz legyen benne, akkor a felfelé kerekítést kell választanunk.
1
- Még nem érkezett komment!