Legyen a négyzet oldala x. Mivel az AB-n átmenő kör középpontja biztosan az AB szakasz szakaszfelező merőlegesén van, ami merőleges a CD oldalra is, ezért az érintési pont csak a CD oldal felezőpontjában lehet, ez legyen É (érintési pont). Ha összekötjük az A,B,É pontokat, akkor egy egyenlő szárú háromszöget kapunk, ahol az alap hossza és az alaphoz tartozó magasság hossza is x. A magasság felezi az alapot, így nyerünk egy olyan derékszögű háromszöget, ahol a befogók hossza x és x/2, tehát az átfogó hossza Pitagorasz tételéből √ x²+(x/2)² =x*√5/2. Ismeretes a következő képlet:

T=a*b*c/(4R), ahol T a háromszög területe, a;b;c a háromszög oldalainak hossza, R pedig a köréírható kör sugara. A háromszög területe x*x/2=x²/2, tehát felírható a következő egyenlet:

x²/2=x*(x*√5/2)*(x*√5/2)/(4R), erre

R=(5/8)x adódik (az R a képlet nélkül is kiszámítható, de jóval komplikáltabb, ha érdekel, az ábrából hogyan lehet kiszámolni, azt is leírom).

Ha K a kör középpontja, akkor kössük össze az M ponttal, majd az M ponton keresztül állítsunk párhuzamost a DC oldallal, ez az egyenes metszi a KÉ sugarat, ez a metszéspont legyen G. Itt nyerünk egy derékszögű háromszöget, ahol az átfogó hossza (5/8)x, az egyik befogó hossza x/2, a másik befogó hossza Pitagorasz tételből: √ ((5/8)x)²-(x/2)² =(3/8)x, így a GÉ szakasz hossza (5/8)x-(3/8)x=(2/8)x=(1/4)x, ez megegyezik a CM szakasz hosszával.

Így már fel tudjuk írni a keresett szakaszok arányát; mivel |CM|=(1/4)x, ezért |BM|=x-(1/4)x=(3/4)x, tehát ezek hányadosa:

|CM| / |BM| = (1/4)x / (3/4)x =1/3, tehát a keresett arány: |CM| : |BM|= 1 : 3