Számok

Különböző számjegyek miatt olyan különböző számjegyeket kell keresni, melyek összege 8 lesz.
Ezek csak a 0+1+3+4=8 vagy a 0+1+2+5 lehet.
Ennek a négy számnak a sorrendjét kell vizsgálni.

abc + ab + a = 223
Háromjegyű, kétjegyű és egyjegyű számokat kell összeadni úgy, hogy
a)
az első számjegy a=2
b)
a középső számjegy két különböző szám összege legyen: a+b=2.
Ez alapján 2+0=2. Azaz b=0
c)
az utolsó számjegy három különböző szám összege legyen: c+b+a=3.
Ez csak akkor lehetséges, ha a 0, 1, 2 számjegyek állnak ott, de tudjuk már, hogy
a=2, b=0. Így c=1.
S d=5.

A keresett négyjegyű szám: 2015
Csak 1 ilyen van.

Az ilyen feladatoknál az alsó tagozatban elsajátított felírást érdemes használni; tudjuk, hogy a 10-es számrendszerbeli számok helyiérték szerint felírhatóak összegalakban, például:

85=8*10+5
752=7*100+5*10+2
1024=1*1000+0*100+2*10+4
stb.

Esetünkben így lehet felírni őket:
a=a
ab=10*a+b
abc=100*a+10*b+c

Ezeket össze tudjuk adni: a+10a+b+100a+10b+c=111a+11b+c, ennek kell 223-nak lennie. Értelemszerűen 'a' értéke nem lehet 2-nél több, de nem lehet 0, mivel akkor az abcd szám nem lenne négyjegyű.

Ha a=1, akkor 111+11b+c=223, tehát 11b+c=112, ha 99 és 9 lenne, akkor az összeg 108 lenne, és ez a lehető legnagyobb, tehát 112 nem lesz az összegük.
Ha a=2, akkor 222+11b+c=223, vagyis 11b+c=1, itt b értéke értelemszerűen csak 0 lehet, így c=1 marad.

Mivel minden lehetőséget megnéztünk, ezért csak 1 megoldás van: a=2, b=0, c=1, tehát 201d alakban keressük a négyjegyű számot, ahol a számjegyek összege 8, ez d=5 esetén teljesül, tehát 2015 az egyetlen szám, ami megfelel a feltételeknek.

Az előző megoldás azért vitt célhoz ebben az esetben, mivel a számjegyek összege "relatíve kicsi", vagyis kevesebb, mint 8. Ha ennél több lehet (például esetünkben a+b+c értéke lehetett volna 13 vagy 23 is, mivel ezekben az esetekben is 3-ra végződik az összeg), akkor az esetszétválasztás sokkal bonyodalmasabb lett volna. Ahogy én írtam fel, az egy általános megoldási módszer.