Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Számok
borderless{ Kérdező } kérdése
691
Hány olyan tízes számrendszerbeli négyjegyű abcd szám létezik, amelynek a jegyeire igaz, hogy összegük 8, valamint abc + ab + a = 223? (Különböző betű különböző számjegyet jelöl.)
3
1
2
Nincs ilyen szám.
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Középiskola / Matematika
Válaszok
2
Janyta
válasza
Különböző számjegyek miatt olyan különböző számjegyeket kell keresni, melyek összege 8 lesz.
Ezek csak a 0+1+3+4=8 vagy a 0+1+2+5 lehet.
Ennek a négy számnak a sorrendjét kell vizsgálni.
abc + ab + a = 223
Háromjegyű, kétjegyű és egyjegyű számokat kell összeadni úgy, hogy
a)
az első számjegy a=2
b)
a középső számjegy két különböző szám összege legyen: a+b=2.
Ez alapján 2+0=2. Azaz b=0
c)
az utolsó számjegy három különböző szám összege legyen: c+b+a=3.
Ez csak akkor lehetséges, ha a 0, 1, 2 számjegyek állnak ott, de tudjuk már, hogy
a=2, b=0. Így c=1.
S d=5.
A keresett négyjegyű szám: 2015
Csak 1 ilyen van.
Módosítva: 7 éve
1
Még nem érkezett komment!
Rantnad{ }
megoldása
Az ilyen feladatoknál az alsó tagozatban elsajátított felírást érdemes használni; tudjuk, hogy a 10-es számrendszerbeli számok helyiérték szerint felírhatóak összegalakban, például:
85=8*10+5
752=7*100+5*10+2
1024=1*1000+0*100+2*10+4
stb.
Esetünkben így lehet felírni őket:
a=a
ab=10*a+b
abc=100*a+10*b+c
Ezeket össze tudjuk adni: a+10a+b+100a+10b+c=111a+11b+c, ennek kell 223-nak lennie. Értelemszerűen 'a' értéke nem lehet 2-nél több, de nem lehet 0, mivel akkor az abcd szám nem lenne négyjegyű.
Ha a=1, akkor 111+11b+c=223, tehát 11b+c=112, ha 99 és 9 lenne, akkor az összeg 108 lenne, és ez a lehető legnagyobb, tehát 112 nem lesz az összegük.
Ha a=2, akkor 222+11b+c=223, vagyis 11b+c=1, itt b értéke értelemszerűen csak 0 lehet, így c=1 marad.
Mivel minden lehetőséget megnéztünk, ezért csak 1 megoldás van: a=2, b=0, c=1, tehát 201d alakban keressük a négyjegyű számot, ahol a számjegyek összege 8, ez d=5 esetén teljesül, tehát 2015 az egyetlen szám, ami megfelel a feltételeknek.
Az előző megoldás azért vitt célhoz ebben az esetben, mivel a számjegyek összege "relatíve kicsi", vagyis kevesebb, mint 8. Ha ennél több lehet (például esetünkben a+b+c értéke lehetett volna 13 vagy 23 is, mivel ezekben az esetekben is 3-ra végződik az összeg), akkor az esetszétválasztás sokkal bonyodalmasabb lett volna. Ahogy én írtam fel, az egy általános megoldási módszer.
1
borderless:
Nem tudom melyiket jelöljem megoldásnak: aki előbb válaszolt vagy aki jobban leírta... :(
7 éve0
Rantnad:
Én úgy gondolom, hogy azt jelöld válasznak, amelyik nagyobb segítség volt számodra, de ha nem tudsz dönteni, akkor ne jelöld egyiket se.
7 éve0