Deriválás alkalmazása

Egy olyan `f(x)` függvényt kellene csinálnunk, ami mondjuk a magassághoz (`x`) rendeli hozzá a kerületet (`f(x)` illetve `y`). Ennek kell aztán a minimumát számolni deriválással.

Legyen tehát `x` a téglalap magassága, `y` a kerület. Ahhoz kell a sugár is, de azt még nem tudjuk. Az a konstans terület segítségével számolható, hisz ha állandó a terület, akkor a magasságtól függően változik, és abból kiszámolható a sugár:

A téglalap oldalai `x` és `2r`, a félkör sugara `r`. A terület pedig 3:
`3=x·(2r)+(r^2π)/2`
Ebből ki tudjuk fejezni az `r`-et, másodfokú lesz:
`π/2·r^2+(2x)·r-3=0`
`r=(-2x+-sqrt(4x^2+6π))/π`
Csak a plusz-os tag a jó, a másik negatív lenne:
`r=(-2x+sqrt(4x^2+6π))/π`

Most már fel tudjuk írni a teljes kerület képletét:
`y=2x+2r+rπ=2x+2(-2x+sqrt(4x^2+6π))/π+(-2x+sqrt(4x^2+6π))`
`y=(-4/π) x+(2/π+1)sqrt(4x^2+6π)`

Így függ tehát a kerület (`y`) a magasságtól (`x`). Ennek kell a minimuma.
Deriváljuk:
`y' = ...` meg tudod csinálni? Összetett függvény deriválása (láncszabály) is van benne, remélem, megy.
Ahol a derivált nulla, az az `x` lesz a magasság kívánt értéke.