2. feladat
Ha 1 vagy 3 szám páratlan, akkor az összeg páratlan lesz ==> 2 páratlan szám kell
Minden páros szám négyzete osztható 4-gyel
A páratlan számok négyzete az egyeseket elvéve, mindig osztható 4-gyel (pl: 132 = 169 --> 160)
ezt hozzáadva osztható marad 4-gyel
A páratlan számok négyzete 1-re 5-re, vagy 9-re végződhetnek, ebből kettőt választva kijöhet: 2, 6, 10, 14, 18 ezek nem oszthatók 4-gyel ==> ha ezt hozzáadod az összeg sem lesz osztható 4-gyel
Remélem érthető volt

1) 7tel osztásnál az n szám maradékai lehetnek 0,1,2,3,4,5,6. Ezek a négyzeten 0,1,4,9,16,25,36. Ezeknek a számoknak a maradékai: 0,1,4,2,2,4,1. Ha ezekhez hozzáadunk 1-et a maradékok a következők lesznek: 1,2,5,3,3,5,2. Tehát ezek a számok nem oszthatóak 7tel.
3) Ha az a kérdés, hogy hány 9re végződő négyzetszám van, akkor végtelen sok a válasz. Mivel:
Minden 10*a + 3 alakú szám – ahol a egész szám – négyzete 9-re végződik:
(10*a + 3) = 100*a^2 + 60*a + 9
Mint látható az összeg első két tagja 10-nek valamilyen szorzata.


Ha az a kérdés, hogy legfeljebb hány darab 9-re végződhet egy négyzetszám, akkor megint más persze a kérdés. Ebben az esetben írjuk fel a négyzetre emelendő számot 100*a + b alakban, ahol a, b nemnegatív egész szám, továbbá b<100.
Ebben az esetben a szám négyzete:
(100*a + b)^2 = 10000*a^2 + 200*a*b + b^2
Mivel az első két összeadandó 100-al lett megszorozva, ezért az utolsó két számjegyre nincs hatással. b^2-et vizsgálva ha nem találunk olyan kétjegyű számot, ami 99-re végződik, akkor egyáltalán nincs olyan négyzetszám, ami 99-re végződik. Ha felírod a kétjegyű számok négyzeteit, nem fogsz találni ilyet, tehát nincs olyan négyzetszám, ami 99-re végződik. Következtetésképpen maximum egy darab 9-re végződhet egy négyzetszám. (Amiből viszont végtelen sok van, mint az a válaszom elején bizonyítva lett.)