Csatoltam képet.

Csatoltam képet.

Csatoltam képet.

Csatoltam képet.

Nem jó az első két válasz.

Én ezeket az elnevezéseket mindig elfelejtem, meg a képleteket is hajlamos vagyok elfelejteni a legfontosabbak kivételével, úgyhogy pl. hogy ez most ismétléses kombinációnak nevezett dolog-e és hogy annak mi a képlete, azt nem tudom fejből. Én ezt megtehetem, neked valószínű kell tudni ezt most fejből. Azért érdemes úgy is tudni megoldani, ahogy most mutatom, hátha mégis elfelejted a képletet.

Először értsük meg a feladatot:
Lesz olyan, aki egy golyót se kap, és lehet olyan, aki mondjuk tizet is. Összesen viszont pontosan 30 golyót kapnak.
Gondolatban adjunk a 11 embernek egy-egy ládikát, a ládikákat tegyük szorosan egymás mellé. Aztán osszuk ki a golyókat a ládikákba. Némelyikbe esetleg egy se kerül, másikba meg sok.
Lesz tehát 11 tárolóhely, közöttük 10 válaszfal, és lesz bennük összesen 30 golyó valahogy szétosztva. Az számít csak, hogy hol van golyó és hol van válaszfal. Ha mondjuk két válaszfal van egymás mellett (hogy nincs köztük golyó), akkor az az ember nem kaptt semmit.
Ez tehát egy lehetséges elrendezés:
··|····||······|·······|·|····|||·····|·
(Összesen 40 "dolgot" rajzoltam fel, amiből 30 pötty jelzi a golyókat, 10 vonal meg a válaszfalakat. A 11 ládika egyrészt a két szélső hely, másrészt a 9 olyan terület, ami két szomszédos vonal között van.)
Az a kérdés, hogy hányféle ilyen elrendezés lehet.

Most jön a megoldás:
Gondolkodjunk így: Van összesen 40 "dolog", ami közül 30 golyó, 10 meg válaszfal. Hányféleképpen tudjuk elrendezni, hogy hol legyenek a válaszfalak?
Másképp fogalmazva: Hányféleképpen tudunk kiválasztani 40 dolog közül 10-et? Azok lesznek a válaszfalak, a maradék 30 meg a golyó.
Ez a "kiválasztás" a leggyakoribb és legegyszerűbb kombinatorikai művelet, ennek kell tudni a képletét: `((40),(10))`, vagyis 40 alatt a 10. Kész vagyunk.

Tanulsz angolul? Az angol anyanyelvűeknek mázlijuk van, mert ezt a `((40),(10))` képletet nem úgy olvassák ki, hogy 40 alatt a 10, aminek semmi értelme nincs, hanem úgy, hogy "40 choose 10", szóval 40-ből válassz 10-et. Ráadásul a jele az, hogy `C`, vagyis kombináció "combination", ami szintén C betűvel kezdődik, mint a "choose".

Azért hazudtam az elején, mert tudom én a képletet is fejből, csak nem szeretem: Amit a suliban tanultatok az ismétléses kombinációról, az ez a képlet: `((n+k-1),(k))`. Most `n=11` és `k=30`, amiből `((40),(30))` jön ki, de az ugyanaz, mint a `((40),(10))`, hisz mindegy, hogy a 40-ből 10-et választunk ki vagy 30-at, mert mondjuk úgy is kiválaszthatunk 30-at, hogy kiválasztunk 10-et, aztán az lesz a 30, amit nem választottunk ki. Érthető? Ha nem, olvasd el lassabban még egyszer...

A képletet azért sem szeretem, mert nem lehet tudni, hogy mi az `n` és mi a `k`. Ha véletlenül fordítva gondolnánk, akkor `((30+11-1),(11))=((40),(11))` jönne ki belőle, ami nem jó! Jobb szeretek mindig belegondolni a ládikákba meg közöttük a válaszfalakba.