Először ne törődjünk a vájattal, hanem számoljuk ki, hogy mi lenne a mágneses mező a vájat nélküli henger belsejében, a tengelytől `rho` távolságra. Ez a `\mathbf{H}_1` mező tisztán azimutális irányú, a nagyságának meghatározásához írjuk fel az Ampère-törvényt egy `rho` sugarú körre:

`oint \ \mathbf{H}_1 d\mathbf{l}=int \ \mathbf{J} d\mathbf{S}`

`H_{1 varphi}*2pi rho=J_0 * rho^2 pi`

`\mathbf{H}_1(rho)=1/2 J_0 rho \mathbf{e}_varphi`

Most nézzük meg, hogy milyen teret hozna létre a hengerből kivágott darab (tehát a kisebb, `r` sugarú henger) önmagában akkor, ha nem `J_0`, hanem `-J_0` áram folyna benne. Emögött az a ráció, hogy a Maxwell-egyenletek linearitása miatt használható a szuperpozíció elve, vagyis az eredő áramkép által keltett mágneses tér a két külön kiszámolt tér összege lesz. Az előbbihez hasonlóan, ha most a vájat közepébe tesszük a hengerkoordinátarendszer origóját, akkor ugyanolyan alakú lesz a tér:

`\mathbf{H}_2(rho^')=-1/2 J_0 rho^' \mathbf{e}_varphi^'`

A vesszős változók itt arra utalnak, hogy ezek egy másik, az előzőhöz képest eltolt hengerkoordinátarendszer irányait jelölik. Az eredő teret megkapjuk, ha `\mathbf{H}_1`-et és `\mathbf{H}_2`-t összeadjuk, de ehhez előbb egyeztetni kell a koordinátarendszereket. Helyezzük az elrendezést derékszögű koordinátarendszerbe úgy, hogy a nagy henger tengelye legyen a `z` tengely, a lyuk középpontja pedig essen az `x` tengelyre. A fenti terek ebben a közös koordinátarendszerben:

`\mathbf{H}_1``=``[[H_{1x}],[H_{1y}],[H_{1z}]]``=``[[1/2 J_0 rho cos varphi],[1/2 J_0 rho sin varphi],[0]]``=``[[1/2 J_0 sqrt(x^2+y^2)(-y)/sqrt(x^2+y^2)],[1/2 J_0 sqrt(x^2+y^2) x/sqrt(x^2+y^2)],[0]]``=``1/2 J_0 [[-y],[x],[0]]`

`\mathbf{H}_2``=``[[H_{2x}],[H_{2y}],[H_{2z}]]``=``[[-1/2 J_0 rho^' cos varphi^'],[-1/2 J_0 rho^' sin varphi^'],[0]]``=``[[-1/2 J_0 sqrt((x-d)^2+y^2)(-y)/sqrt((x-d)^2+y^2)],[-1/2 J_0 sqrt((x-d)^2+y^2) (x-d)/sqrt((x-d)^2+y^2)],[0]]``=``-1/2 J_0 [[-y],[x-d],[0]]`

Tehát az eredő tér a vájat belsejében:

`\mathbf{H}=\mathbf{H}_1+\mathbf{H}_2``=``[[0],[1/2 J_0 d],[0]]`

A látszólag nehéz feladatra nagyon egyszerű eredményt kaptunk: a vájatban homogén, `1/2 J_0 d` nagyságú mágneses tér alakul ki.



Akkor nézzük a vektorpotenciált:

`mu_0 \mathbf{H} = \text{rot} \ \mathbf{A}`

A vektorpotenciálnak csak tengelyirányú komponense van, és ebben az irányban az elrendezés eltolásinvariáns, vagyis `partial/(partial z)=0`. Ez a potenciál automatikusan teljesíti a Coulomb-mértéket (`\text{div} \ \mathbf{A}=0`), és jelentősen egyszerűsíti a rotáció képzését:

`\text{rot} \ \mathbf{A} ``=`` |(\mathbf{e}_x,\mathbf{e}_y,\mathbf{e}_z),(partial/(partial x),partial/(partial y),0),(0,0,A_z)|``=``[[(partial A_z)/(partial y)],[-(partial A_z)/(partial x)],[0]]`

Tehát `(partial A_z)/(partial x)=-1/2 mu_0 J_0 d` és `(partial A_z)/(partial y)=0`. Innen a vektorpotenciál:

`\mathbf{A}=(-1/2 mu_0 J_0 d x+C) \mathbf{e}_z`

Egy plusz érdekesség: csináltam egy végeselemes szimulációt Comsol Multiphysics segítségével. A mellékelt ábrán a `\mathbf{B}` mező látható, színskálán a nagysága, nyilakkal az iránya. Látszik, hogy visszakaptuk az elméleti eredményt: az `x` tengelyre igazított vájatban homogén, `y` irányú a mező.

Egyismeretlenes, kétdimenziós peremérték-feladatként kellett megfogalmazni a problémát ahhoz, hogy a Comsol meg tudja oldani. Ehhez a vektorpotenciál definícióját (`\mathbf{H}=1/mu \text{rot} \ \mathbf{A}`) helyettesítsük be a differenciális Ampère-törvénybe (`\text{rot} \ \mathbf{H}=\mathbf{J}`), majd az így kapott egyenletben (`\text{rot} \ \text{rot} \ \mathbf{A}=mu \mathbf{J}`) használjuk ki az ismert `\text{rot} \ \text{rot} = \text{grad} \ \text{div} - Delta` azonosságot. Ha a Coulomb-mérték választásával élünk (`\text{div} \ \mathbf{A}=0`), akkor ezzel vektoriális Laplace–Poisson-egyenletet kapunk a vektorpotenciálra `(Delta \mathbf{A}=-mu \mathbf{J})`. Ez derékszögű koordinátarendszerben szétesik három skaláris LP-egyenletre, amiből nekünk csak a `z` irány érdekes: `Delta A_z = - mu J_0`. Ez alakilag ugyanolyan, mint az elektrosztatikában megismert, az elektromos skalárpotenciálra felírható egyenlet, numerikusan könnyen megoldható.