Matek Házi

Legyen a két szám x és y, ekkor a feladat szerint ezek az összefüggések írhatóak fel:

a)
x+y=12
x*y=45

Az első egyenletből y=12-x lesz egyenletrendezés után, ezt írjuk be a második egyenletben y helyére:

x*(12-x)=45, rendezés után:

-x²+12x-45=0, esetleg lehet szorozni (-1-)-gyel:
x²-12x+45=0, ezt megoldhatjuk megoldóképlettel is, vagy teljes négyzetté alakítással:

(x-6)²+9=0, ennek pedig nem lesz megoldása, mivel a négyzetes tag értéke vagy 0 vagy pozitív, így az összeg legalább 9, Tehát a feltételeknek adott (valós) számpáros nem létezik.

b)
x+y=12
x²+y²=314

Ismét az első egyenletből y=12-x, ekkor
x²+(12-x)²=314
x²+144-24x+x²=314
2x²-24x-170=0, esetleg lehet osztani 2-vel:
x²-12x-85=0, megoldóképlettel, vagy teljes négyzetes alakkal:

(x-6)²-121=0,
(x-6)²=121, ennek két megoldása van: x₁=17, x₂=-5, így y=-5, x₂=17, tehát két számpáros is eleget tesz a feltételeknek, de ha sorrendjük nem számít, akkor ez a két számpár ugyanaz, tehát valójában 1 megoldás van.