A kép második koordinátáját biztos nem írtad el? Tényleg `(6+1)x`?

Ha helyes a kiírás, akkor az alábbi transzformációról van szó:

`[[x],[y]] mapsto [[-6x+y],[7x]]`

A transzformáció sajátvektorai azok a vektorok, amiket a transzformáció nem forgat el, hanem csak összenyom/megnyújt, vagyis skalárral szoroz. A szorzótényező pedig az ehhez a sajátvektorhoz tartozó sajátérték. Tehát a `\mathbf{T}` transzformáció sajátvektora `\mathbf{v}` és ehhez tartozó sajátértéke `lambda`, ha `\mathbf{T}\mathbf{v}=lambda \mathbf{v}`.

Először határozzuk meg a megadott transzformáció mátrixát! Ez úgy történik, hogy megnézzük, hová viszi a transzformáció a bázisvektorokat, majd az eredményvektorokat beírjuk egy mátrixba. Dolgozzunk a természetes bázisban, ekkor:

`[[1],[0]] mapsto [[-6],[7]]`

`[[0],[1]] mapsto [[1],[0]]`

Tehát a transzformáció természetes bázisbeli mátrixa:

`mathbf{T}=[[-6,1],[7,0]]`

Megvan a `\mathbf{T}` mátrix, most meg kell keresni a sajátértékeit és a sajátvektorait. Vagyis meg kell oldani a következő egyenletet:

`\mathbf{T}\mathbf{v}=lambda \mathbf{v}`

Nullára rendezve:

`(\mathbf{T}-lambda \mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}`

Kiírva mátrixosan:

`[[-6-lambda,1],[7,-lambda]][[v_x],[v_y]]=[[0],[0]]`

Ahhoz, hogy a triviális `\mathbf{v}=\mathbf{0}`-tól különböző megoldása is legyen az egyenletnek, ahhoz az kell, hogy a mátrix determinánsa nulla legyen. Ebből jönnek ki a sajátértékek:

`|[-6-lambda,1],[7,-lambda]|``=``lambda (lambda+6)-7``=``lambda^2+6lambda-7=0`

Ez egy sima másodfokú egyenlet, a megoldóképlet alapján az jön ki, hogy a sajátértékek az alábbiak:

`lambda_1=1`
`lambda_2=-7`

Az `1` sajátértékhez tartozó sajátvektor:

`(\mathbf{T}-1*\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}`

`[[-7,1],[7,-1]][[v_x],[v_y]]=[[0],[0]]`

Innen például `\mathbf{v}_1=[[1],[7]]` jó lesz sajátvektornak. (A sajátvektorok nem egyértelműek, hiszen ha egy vektor sajátvektor, akkor tetszőleges skalárszorosa is az.)

A `-7` sajátértékhez tartozó sajátvektor:

`(\mathbf{T}+7*\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}`

`[[1,1],[7,7]][[v_x],[v_y]]=[[0],[0]]`

Ebből pedig például `\mathbf{v}_2=[[1],[-1]]`.


Ellenőrizzük le, hogy tényleg sajátvektorokat kaptunk-e. Nézzük meg, mit csinál a transzformáció a `\mathbf{v}_1` vektorral:

`[[1],[7]] mapsto [[-6*1+7],[7*1]]=[[1],[7]]`

Tehát a `\mathbf{v}_1` vektort a transzformáció helyben hagyja, vagyis `1`-gyel szorozza, ami éppen a `\mathbf{v}_1` sajátvektorhoz tartozó `lambda_1` sajátérték volt.

Hasonlóan nézzük meg, mit csinál a transzformáció a `\mathbf{v}_2` vektorral:

`[[1],[-1]] mapsto [[-6*1-1],[7*1]]=[[-7],[7]]`

Tehát a `\mathbf{v}_2` vektort a transzformáció `-7`-tel szorozza, ami éppen a `\mathbf{v}_2` sajátvektorhoz tartozó `lambda_2` sajátérték volt.

ez lett volna az eredeti kérdés, mindenkinek van egy "k" értéke ami nekem 2. Nem tudtam hogy ez befolyásolja