Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Létezik-e olyan p polinom
Törölt
{ Kérdező } kérdése
310
Létezik-e olyan p polinom, melynek lokális széls őértéke van az x = 1 pontban, gráfja
illeszkedik a (1/2, 45/16) pontra, és p" (x) = 12x² − 24x + 2?
illeszkedik a (1/2, 45/16) pontra, és p" (x) = 12x² − 24x + 2?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
AlBundy
{ Polihisztor }
megoldása
A keresett polinom második deriváltja meg van adva: `p''(x) = 12x^2 - 24x + 2`
Integráljuk a második deriváltat: `p'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2x+A`
`p''(1) ne 0`, ezért `p'(1)=0` szükséges és elégséges feltétele annak, hogy `x=1`-ben szélsőérték legyen. Ebből meghatározható az integálásból bejövő `A` konstans:
`4*1^3 - 12*1^2 + 2*1+A=0`
Innen `A=6`. Integráljuk az első deriváltat is:
`p'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2x+6`
`p(x) = x^4 - 4x^3 + x^2+6x+B`
Már majdnem megvan a polinomunk, csak a `B` konstans a kérdés. Ezt pedig onnan tudjuk meghatározni, hogy meg van adva a függvény egy pontja, tehát a `p(1/2)=45/16` egyenlőségnek teljesülnie kell.
`45/16 = (1/2)^4 - 4*(1/2)^3 + (1/2)^2+6*1/2+B`
`45/16 = 1/16 - 1/2 + 1/4+3+B`
Innen `B=0`. Tehát a keresett polinom:
`p(x) = x^4 - 4x^3 + x^2+6x`
Integráljuk a második deriváltat: `p'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2x+A`
`p''(1) ne 0`, ezért `p'(1)=0` szükséges és elégséges feltétele annak, hogy `x=1`-ben szélsőérték legyen. Ebből meghatározható az integálásból bejövő `A` konstans:
`4*1^3 - 12*1^2 + 2*1+A=0`
Innen `A=6`. Integráljuk az első deriváltat is:
`p'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2x+6`
`p(x) = x^4 - 4x^3 + x^2+6x+B`
Már majdnem megvan a polinomunk, csak a `B` konstans a kérdés. Ezt pedig onnan tudjuk meghatározni, hogy meg van adva a függvény egy pontja, tehát a `p(1/2)=45/16` egyenlőségnek teljesülnie kell.
`45/16 = (1/2)^4 - 4*(1/2)^3 + (1/2)^2+6*1/2+B`
`45/16 = 1/16 - 1/2 + 1/4+3+B`
Innen `B=0`. Tehát a keresett polinom:
`p(x) = x^4 - 4x^3 + x^2+6x`
Módosítva: 5 éve
1
- Még nem érkezett komment!