A Gauss-törvény szerint `\text{div}\mathbf{E}=rho_0/epsilon`, az elektrosztatikus tér örvénymentessége miatt pedig `\mathbf{E}=-\text{grad} varphi` alakban bevezethető a potenciál. Az utóbbit behelyettesítve az előbbibe megkapjuk a Laplace–Poisson-egyenletet: `Delta varphi = -rho_0/epsilon`. (Kihasználtam, hogy skalármező gradiensének a divergenciája a Laplace-operátor.) Ezt a parciális differenciálegyenletet kell megoldani, de ez szerencsére sokkal egyszerűbb, mint elsőre hangzik, mivel az elrendezés szimmetriája miatt `varphi` csak a sugártól függhet. A Laplace-operátor gömbkoordinátás kifejtését megtalálod itt:
https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator#Three_dimensions

Ez alapján a parciális diffegyenlet közönséges diffegyenletté egyszerűsödik:

`Delta varphi = -rho_0/epsilon`

`1/r (partial^2)/(partial r^2)(r varphi)=-rho_0/epsilon`

Beszorozva `r`-rel:

`(partial^2)/(partial r^2)(r varphi)=-rho_0/epsilon r`

Integrálva egyszer:

`(partial)/(partial r)(r varphi)=-rho_0/epsilon r^2/2 + A`

Integrálva még egyszer:

`r varphi=-rho_0/epsilon r^3/6 + Ar+B`

Osztva `r`-rel:

`varphi=-rho_0/epsilon r^2/6 +B/r+A`

Az `A` és `B` konstansokat a peremfeltételeknek megfelelően kell megválasztani, hiszen az alábbiaknak teljesülniük kell:
`varphi(R_1)=0`
`varphi(R_2)=V`

Ez nem egy barátságos egyenletrendszer, de ha végigszámolod, akkor az jön ki, hogy

`B=(R_1 R_2)/(R_1-R_2) V-rho_0/(6 epsilon)(R_1 R_2)(R_1+R_2)`

`A=rho_0/(6epsilon)R_1^2-B/R_1`

Ellenőrzésképpen nézzük meg, hogy mit ad ez a megoldás `rho_0=0` esetén:

`varphi=(R_1 R_2)/(R_1-R_2) V (1/r-1/R_1)`

Visszakaptuk a szokásos gömbkondenzátor potenciáljára vonatkozó jól ismert képletet!