`mathbb{R}^2`-ben nem tud három vektor lineárisan független lenni, mert akkor az a három vektor egy háromdimenziós alterét feszítené ki a kétdimenziós `mathbb{R}^2`-nek, szóval ehhez a feladathoz nem kell sokat számolni.



De ha általánosan akarod csinálni, akkor a megoldást valóban jól kezdted el. Már csak meg kell oldani az egyenletrendszert. Akkor lineárisan független a három vektor, ha az egyenletrendszernek csak a triviális `lambda_1``=``lambda_2``=``lambda_3``=``0` megoldása van.

A két eredeti egyenlet (a sorrendjüket megcseréltem):

`2lambda_1+2lambda_2+4lambda_3=0`
`0lambda_1-13lambda_2+11lambda_3=0`

Osszuk le az első egyenletet `2`-vel, a másodikat `-13`-mal:

`lambda_1+lambda_2+2lambda_3=0`
`lambda_2-11/13 lambda_3=0`

Vonjuk ki a második egyenletet az elsőből:

`lambda_1+37/13 lambda_3=0`
`lambda_2-11/13 lambda_3=0`

Legyen `lambda_3=alpha` tetszőleges szám! Ekkor a második egyenletből `lambda_2=11/13 alpha`, az első egyenletből pedig `lambda_1=-37/13 alpha`. Vagyis az egyenletrendszer megoldásai:

`[[lambda_1],[lambda_2],[lambda_3]]=alpha*[[-37/13],[11/13],[1]]`

Tehát az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van, a vektorok nem lineárisan függetlenek. Például `alpha=13` értékére `lambda_1=-37`, `lambda_2=11` és `lambda_3=13`, vagyis:

`-37[[0],[2]]+11[[-13],[2]]+13[[11],[4]]=[[0],[0]]`

Ez azt jelenti, hogy az egyik vektor kifejezhető a másik kettő lineáris kombinációjaként:

`-37\mathbf{v}_1+11\mathbf{v}_2+13\mathbf{v}_3=\mathbf{0}`

`\mathbf{v}_1=11/37\mathbf{v}_2+13/37\mathbf{v}_3`



Ha megnézed, hogy a fenti átalakításaim során hogyan változott az együtthatómátrix, akkor láthatod, hogy valójában Gauss-eliminációval redukált sorlépcsős alakra hoztam:

`[[0,-13,11],[2,2,4]]`

`[[2,2,4],[0,-13,11]]`

`[[1,1,2],[0,1,-11/13]]`

`[[1,0,37/13],[0,1,-11/13]]`

Ebből pedig az látszik, hogy a megadott vektorokból mint oszlopvektorokból képzett mátrix rangja 2, vagyis közülük 2 vektor lineárisan független.