Függvény határértéke

Definíció szerint tetszőleges δ>|x-a|-ra létezik ε>0, hogy |f(a)-b|<ε. Ebben az esetben az f függvénynek x=a pontjában határértéke b.

Végtelenben vett határértékre egy kicsit módosul a definíció: ha a határérték c, akkor tetszőleges ε>0-ra létezik N, hogy minden x>N-re |f(x)-c|<ε. Ezt felhasználva azt kell belátni, hogy

|1/x²-0|<ε, vagyis |1/x²|<ε. Mivel 1/x² minden x-re pozitív, ezért elhagyható az ||, így marad 1/x²<ε, egyenletrendezés után 1/√ε<x-et kapjuk, tehát ha N értékét 1/√ε-nak vesszük, akkor fog teljesülni a definíció, tehát a 0 valóban határértéke az 1/x² függvénynek a végtelenben.