Toplista
- betöltés...
Ha szívesen korrepetálnál, hozd létre magántanár profilodat itt.
Ha diák vagy és korrepetálásra van szükséged, akkor regisztrálj be és írd meg itt, hogy milyen tantárgyban!
Leibniz sor konvergenciatartomány
levente-vass9486
kérdése
466
Meg kell adni a (-1)ⁿ(x+2)ⁿ konvergenciatartományát. A képlet ugye a(n)(x-a)ⁿ, ilyenkor az a=-2? És a képlet további tagja mi?
Jelenleg 1 felhasználó nézi ezt a kérdést.
0
Felsőoktatás / Matematika
Válaszok
1
bongolo
{ 
}
megoldása
Alapszintű megoldás: (nem ezt kérdezted)
`sum_(n=0)^∞ (-1)^n(x+2)^n` egy mértani sor. A sorozat paraméterei: első eleme 1, kvóciense `-x-2`. A mértani sor akkor konvergens, ha `|q| < 1`, vagyis
`|-x-2| < 1`
vagyis `-3 < x < -1`
Konvergenciakritériumos megoldás: (ilyet kérdeztél)
Az `a_n(x-a)^n` hatványsorban `a_n=(-1)^n`, `a=-2`.
A `sum_(n=0)^∞ a_n(x-a)^n` sor konvergenciasugara:
`R=1/(lim_(n→∞) root(n)(|a_n|))=1/(lim_(n→∞) 1)=1`
Ez azt jelenti, hogy `|x-a| < R` vagy `≤ R` a konvergenciatartomány (az egyenlőség kérdéses).
`|x+2| < 1`
vagyis `-3 < x < -1`
Meg kell külön nézni azt is, hogy `|x+2| = 1` esetén konvergens, vagy divergens-e a sor.
a) Ha `x+2=1`: `sum_(n=0)^∞ (-1)^n(1)^n` ez divergens
b) Ha `x+2="-1"`: `sum_(n=0)^∞ (-1)^n(-1)^n` ez is divergens
Tehát nyílt intervallumban konvergens: `-3 < x < -1`
`sum_(n=0)^∞ (-1)^n(x+2)^n` egy mértani sor. A sorozat paraméterei: első eleme 1, kvóciense `-x-2`. A mértani sor akkor konvergens, ha `|q| < 1`, vagyis
`|-x-2| < 1`
vagyis `-3 < x < -1`
Konvergenciakritériumos megoldás: (ilyet kérdeztél)
Az `a_n(x-a)^n` hatványsorban `a_n=(-1)^n`, `a=-2`.
A `sum_(n=0)^∞ a_n(x-a)^n` sor konvergenciasugara:
`R=1/(lim_(n→∞) root(n)(|a_n|))=1/(lim_(n→∞) 1)=1`
Ez azt jelenti, hogy `|x-a| < R` vagy `≤ R` a konvergenciatartomány (az egyenlőség kérdéses).
`|x+2| < 1`
vagyis `-3 < x < -1`
Meg kell külön nézni azt is, hogy `|x+2| = 1` esetén konvergens, vagy divergens-e a sor.
a) Ha `x+2=1`: `sum_(n=0)^∞ (-1)^n(1)^n` ez divergens
b) Ha `x+2="-1"`: `sum_(n=0)^∞ (-1)^n(-1)^n` ez is divergens
Tehát nyílt intervallumban konvergens: `-3 < x < -1`
Módosítva: 5 éve
0
- Még nem érkezett komment!