Terület számítás

Szia!

A területek aránya 1:16:36.
Észrevettél valami furcsát? Mind négyzet szám (1×1=1, 4×4=16 és 6×6=36).
Nem véletlen. Ha egy kört kétszeresére nagyítasz, felülete négyszeresére nő, mivel a sugár a második hatványon szerepel (A=r^2×pi).
És ez visszafele is igaz. Ha a területek aránya valamekkora, akkor a sugarak aránya annak nyégyzetgyöke kell, hogy legyen.
tehát a három sugár (a, b, c) aránya 1:4:6.
Összegük pedig 20 cm.

Most már csak a 20 cm-t kell 3 részre felosztani a kiszámolt arányokkal:

a=20/(1+4+6)×1=1,81 cm
b=20/(1+4+6)×4=7,27 cm
c=20/(1+4+6)×6=10,91 cm.

"Ha egy kört kétszeresére nagyítasz" - Mi szerint? És ha az arányok 1:2:3, akkor hogy jön rá? Persze ettől még igaz a kijelentés, de csak ebben a speciális esetben.

Legyen az első kör sugara r, a másodiké R, a harmadiké 20-r-R, ekkor a körök területe:

r²*π
R²*π
(20-r-R)²*π

A feladat szerint az első kettő aránya 1:16, tehát

(r²*π):(R²*π)=1:16, ez felírható törtként is:
(r²*π)/(R²*π)=1/16, ebből egyenletrendezés után 16r²=R² lesz, gyököt vonunk, így 4r=R lesz, így már csak a legkisebb kör sugarának függvényében meg tudjuk mondani a többi kör sugarát:
r, 4r, (20-r-4r)=20-5r, tehát a körök területei:
r²*π; (4r)²*π=16r²*π; (20-5r)²*π. A második aránypár szerint

(16r²*π):((20-5r)²*π)=16:36, törtalakban:
(16r²*π)/((20-5r)²*π)=16/36, a bal oldalon egyszerűsítünk π-vel, a jobb oldalon 4-gyel:
(16r²)/(20-5r)²=4/9, szerencsére tudunk gyököt vonni, így nem kell kínlódni a zárójel kibontásával:

(4r)/(20-5r)=2/3, innen pedig egy egyszerűen megoldható egyenletet kapunk; szorzunk a nevezőkkel:
3*(4r)=2*(20-5r), kibontjuk a zárójeleket:
12r=40-10r, hozzáadunk mindkét oldalhoz 10r-t:
22r=40, osztunk 22-vel:
r=40/22=20/11 cm, ezek alapján a második kör sugara 4*20/11=80/11 cm, a harmadiké 20-(20/11)-(80/11)=120/11 cm. Az ellenőrzést rád bízom.