Az a képlet kell csak, hogy a dugattyú alatti gázra `pV` állandó, és persze kell egy csomó megfontolás:

Ha az U alakú cső közepét nézzük alul, ott nyugalomban nem mozog a higany. Ez a nyugalom akkor van, amikor a jobb és bal oldali összes nyomás egyforma. Ez az összes nyomás áll egyrészt a higanyoszlop nyomásából, másrészt a higany feletti levegő (illetve gáz) nyomásából a két oldalon.

A higanyt bal oldalon a dugattyú feletti gáz nyomása nyomja lefelé, a jobb oldalon pedig a légnyomás. Mivel a higanyoszlop magassága azonos a két oldalon, ez a két nyomás azonos kell legyen. (Valójában ezt meg is adja a feladat, de rá is lehetett jönni.)
`p_l=p_(g1)=10^5\ Pa`

Ha lejjebb nyomjuk a dugattyút 28,5 centivel, vagyis odáig, ahol kezdetben a higany teteje volt, akkor a dugattyú alatti gáz magassága mondjuk `x` lesz. `x` kevesebb lesz 28,5 centinél, de közel se nulla!
A bal oldalon a higanyoszlop magassága `x`-szel csökken, a jobb oldalon pedig `x`-szel emelkedik. Tehát `2x` lesz a távolság a higanyoszlopok teteje között.

A végén is nyugalom van, ezért a két oldalon az össz-nyomás most is egyforma lesz. A légnyomás a jobb oldal tetején továbbra is ugyanannyi marad, de a higanyoszlopé nagyobb lesz. A bal oldalon a higanyoszlop nyomása kisebb, a gáz nyomása viszont megnő. Attól nő meg, mert összenyomódik a gáz. (Ezt mutatja a `pV=`állandó képlet: ha `V` kisebb, akkor `p` nagyobb.)

Írjuk fel egyenletként a két oldal össz-nyomásának egyformaságát a végén. Kicsit egyszerűbb úgy felírni, hogy csak a bal oldali végső higanymagasság fölötti rész nyomását írjuk, hisz ez alatt a két oldalon ugyanannyi higany van. (Ezt tekinthetjük "null-szintnek")

Mielőtt felírnánk az egyenletet, a mértékegységeket jól meg kell gondolni: Ahhoz, hogy minden SI-ben legyen, az kell, hogy a `ρ` sűrűség mértékegysége `(kg)/(m^3)`, a keresztmetszet `m^2`, az `x` magasság pedig `m` legyen, és persze a 28,5 cm is 0,285 m.
A cső keresztmetszete ki fog esni, úgyhogy azt nem is érdemes átszámítani.
`ρ="13,6"(kg)/(dm^3)=13600(kg)/m^3`

A nyomások tehát:

A `bb"jobb"` oldalon van `2x` magas higany a nullszint fölött, annak tömege:
`m=A·2x·ρ`
súlya `mg`, nyomása pedig:
`p_h=(m·g)/A=2x·ρ·g`
Ehhez jön még a légnyomás a higany felett:
`p_"jobb"=p_h+p_l`

A `bb"bal"` oldalon nincs higany a nullszint felett, csak a gáz nyomása lesz:
`p_"bal"=p_(g2)`
amiről ezt tudjuk:
`p_(g1)·V_1=p_(g2)·V_2`
a gáz térfogata arányos a magasságával: (hisz `V=A·"magasság"`)
`p_(g1)·"0,285"=p_(g2)·x`
`p_(g2)=p_(g1)·"0,285"/x=p_l·"0,285"/x`

Az egyenlet (a két nyomás azonos) tehát ez:
`p_"bal"=p_"jobb"`
`p_l·"0,285"/x=2x·ρ·g+p_l`
`p_l·"0,285"=2x^2·ρ·g+p_l·x`
`2x^2·ρ·g+p_l·x-p_l·"0,285"=0`
`2·13600·10·x^2+10^5·x-10^5·"0,285"=0`
`272000·x^2+10^5·x-10^5·"0,285"=0`
osszunk `10^3`-nal, hogy ne legyenek olyan nagy számok:
`272x^2+100x-"28,5"=0`

Oldd meg ezt a másodfokú egyenletet. Az egyik gyök negatív lesz, az nem jó. A másik a válasz az a) kérdésre.

A b) kérdés: amennyivel nőtt a jobb oldalon a helyzeti energia, annyival csökkent a bal oldalon. Szóval eredőben nem változott. A megadott eredmény csak a jobb oldali higanyoszlop energianövekedése.

A b kérdésre adott válasz nem jó. Könnyen be lehet látni, hogy az összenergia nem marad állandó, ha elképzeljük, hogy mi a helyzet abban a szélsőséges esetben, ha az összes higanyt áttoljuk a túloldalra. Ebben az esetben a tömegközéppont kétszer olyan magasan lesz, tehát a helyzeti energia megduplázódik. Vagyis közben is végig növekednie kell a helyzeti energiának.

Ami a számolást illeti, segít, ha a nullpontot nem az eredeti higanyszintre tesszük, hanem x-szel lejjebb, ahol x az a feladat eredménye, tehát a lenyomás utáni magassága a levegőoszlopnak. Ebben az esetben a kezdeti helyzeti energia m*g*x/2 (a tömegközéppont x/2-nél van) mindkét oldalon, ahol m=ρ*V=ρ*A*x⇒m nagyjából 0,512 kg. Így a két oldalra az összes helyzeti energia nagyjából 0,965 joule.
Lenyomás után a bal oldalon semennyi higany nem marad, ott a helyzeti energia nulla. A jobb oldalon kétszer annyi higany lett, és a tömegközéppont is kétszer magasabbra került, így az új helyzeti energia 2*m*g*x⇒1,93 J. Amiből, ha kivonjuk a kiindulási állapotot, akkor megkapjuk a megoldást, azaz 0,965 J-t.