Matematika

d., A kert további részeibe is hagymás növényeket ültetnek. A kertészetben vásárolt 5db lila, 4db fehér és a 6db kék tulipánt egy zacskóba tette az eladó. A zacskóból véletlenszerűen egyszerre 5 virághagymát kiveszünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 2 lila, 2 fehér és 1 kék tulipánhagyma lesz a kezünkbe?

a) A paralelogrammáról azt kell tudni, hogy középpontosan szimmetrikus alakzat, ebben az esetben a szimmetriaközéppont a K pont. Egy pontra úgy tükrözünk egy másik pontot, hogy kiszámoljuk a középpontba mutató vektort, és azzal a vektorral eltoljuk a K pontot:

AK→=(-2;3), ezzel a vektorral eltoljuk a K pontot. Az eltolás úgy megy, hogy a vektor koordinátáit hozzáadjuk a K pont koordinátáihoz (elsőhöz az elsőt, másodikhoz a másodikat), ezzel kapjuk meg az A' pontot: A'(-5;1).

Ugyanezt megcsináljuk a B ponttal is:

BK→=(-6;-1), ezzel eltolva a K pontot: B'(-9;-3). Ezzel sikerült kijelölnünk a paralelogramma csúcsait.

Másik számítási mód, hogy tudjuk, hogy a pont és a tükörképe által meghatározott szakasznak a szimmetriaközéppont a felezőpontja. Ebben az esetben ha A'(a₁;a₂), akkor az AA' szakasz felezőpontjának első koordinátája (-1+a₁)/2, ennek meg kell egyeznie K első koordinátájával, vagyis -3-mal: (-1+a₁)/2=-3, rendezés után a₁=-5 adódik, második koordinátájára az (-5+a₂)/2=-2 teljesül, erre a₂=1 a megoldás, tehát az A' koordinátái: (-5;1). Próbáld meg a B pont koordinátáit ezzel a módszerrel is kiszámolni.

Hogy ez a négy pont paralelogrammát határoz meg, azt úgy bizonyítjuk, hogy belátjuk, a szemközti oldalak párhuzamosak és egyenlő hosszúak, ehhez az kell, hogy az oldalak azonos irányú vektorát írjuk fel. Ha az AB'→-t számoljuk ki, ami (-8;2), akkor a BA' vektorra lesz szükségünk, ami (-8;2). Két egyirányú vektor akkor párhuzamos egymással és egyenlő hosszúak, ha koordinátáik megegyeznek, és ez ebben az esetben fennáll.
A másik pár vektor:
AB→=(4;4), B'A'→=(4;4), erre is teljesülnek a fentiek, tehát a négy pont valóban paralelogrammát határoz meg.

b) Erre vagy 5 megoldási mód jutott az eszembe, nem tudom, melyiket írjam le, mivel nem tudom, hogy mennyire megy az egyenes egyenletének felírása vagy a trigonometria. Mindenesetre van egy megoldás, ami bármilyen helyzetben működik; a háromszög/konvex négyszög köré rajzolunk egy téglalapot, ami átmegy a csúcsokon és párhuzamos a tengelyekkel. Ez azért jó, mert a tengelyekről (mintha azok vonalzók lennének) le tudjuk olvasni a téglalap oldalait, így a téglalap területét is ki tudjuk számolni. Ebből a téglalapból ha levonogatjuk a fölösleges derékszögű háromszögek területeit, akkor megkapjuk a paralelogramma területét. Ehhez adott esetben érdemes rajzolni. Ha ezzel nem sikerül számolni, írok másik megoldási módot.

Ha 1 egység 50 cm-nek felel meg, akkor 1 területegység 50*50=2500 cm²-nek, ezzel kell a kapott területet beszorozni.

c) Tehát az ABK, A'B'K háromszögekbe írt kör kerületét kell meghatározni. Ehhez fel kell írni. Ehhez érdemes tudni a következő képletet, ami a függvénytáblában is megtalálható:
Tháromszög=r*s, ahol s a kerület fele, vagyis K/2. Tehát annyi a dolgunk, hogy kiszámoljuk a háromszög kerületét, vagyis az oldalak hosszának összegét, és a területét, innen már minden adott lesz, hogy a beírt kör sugarát meghatározzuk, így annak a kerületét. Persze meg lehet máshogyan is oldani, de talán ez a legegyszerűbb módja.

d) Összes eset: kiveszünk 5 hagymát úgy, hogy a kivétel sorrendje nem számít, ez (15 alatt az 5).
Kedvező eset: mivel a kivétel sorrendje nem számít, 1 sorrendet jelölhetünk, ez legyen: LLFFK. A lilák helyére (5 alatt a 2)-féleképpen rakhatunk 2 lilát, (4 alatt a 2)-féleképpen tehetjük a fehéreket, és 6-féleképpen tehetjük a kékeket, ezekből (5 alatt a 2)*(4 alatt a 2)*6-féleképpen rakhatjuk össze az 5 megfelelő virághagymát.
A kedvező/összes képlettel számolva kapjuk a keresett valószínűséget.