Szia!
a.,
A két óra 120 perc, amiben a 20 perc 6-szor van meg, azaz hat alkalommal tud megkétszereződni. Minden egyes alkalommal kétszer annyi lesz belőle, azaz mennyiségét szorzod kettővel. Azaz ha először egyetlen árva baktérim volt, akkor abból 20 perc múlva 2 lesz, majd 4, majd 8, stb. Tehát végülis "hatszor szorzod kettővel" az egyet, tehát 1×2×2×2×2×2×2=64
Így tehát az egyetlen darab baktériumból 1×2^6=64 db lesz két óra elteltével.


b.,
Az egymillió (1.000.000) darabhoz pedig arra van szükség, hogy hányadikra kell emelni a kettőt, hogy egy milliót kapjunk, tehát venni kell az egymillió kettes alapú logaritmusát. Ha ilyen nincs a számológépeden (enyémen pl. nincs), akkor azt tudod csinálni, hogy kiszámolod a tizes alapú logaritmuást az egymilliónak (ez 6), majd elosztod a kettő tizes alapú logaritmusával (ez 0,301), azaz log(2)1.000.000=6/0,301=19,93. Tehát 19,93 osztódást kell megvárni, mire egy millió db baci lesz benne, az ehhez tartozó idő pedig 19,93×20=398,6 perc (399).

c.,
A feladat szövege ílyen formában nem értelmezhető, viszont ha a tenyészet tömege 5,32 g, akkor úgy tudod kiszámolni, hogy leosztasz egy baktérium tömegével. Mivel egy baci tömege 665 fg, azaz 665×10^-15g, mely 6,65×10^-13 g-nak felel meg, akkor 5,32 g-nyi tenyészetben 5,32/6,65×10^13=8×10^12 db. Tehát a tenyészetben 8×10^12 db baktérium található.

1. Ha nincs nagyon ötletünk, akkor lépésenként is fel lehet írni:
20 perc múlva: 2
40 perc múlva: mindkettő kettőződik, tehát 4
60 perc múlva: 8
80 perc múlva: 16
100 perc múlva: 32
120 perc múlva: 64
Tehát 64 baktérium lesz 2 óra elteltével.

Ha rutinosak vagyunk, hamar rájöhetünk, hogy az egyes tagok mértani sorozatot alkotnak, ahol q=2, és a a₁=1 120/20=6, tehát 6-szor változik a tenyészet mérete, így a₇ a kérdés:

a₇=a₁*q⁶=1*2⁶=64, tehát 64 baktérium lesz.

2. Felírjuk a tagokra vonatkozó képletet; a√ n =1000000, a₁=1, q=2, tehát

1000000≤1*2n-1

Itt azért tettünk relációt, mert nem biztos, hogy a 20 percek múlva pontosan 1000000 lesz, kvázi mi azt keressük, hogy hányszor kell 20 percnek eltelnie, az pedig ez egész szám.

Itt is megtehetjük, hogy addig nyomkodjuk, hogy 1*2*2*2*..., amíg nem jutunk 1000000 felé, ehhez 21-szer kell szorozni, mivel 1*221-1=1048576, tehát a 21-edik alkalommal leszünk 1000000 fölött, ehhez 20*20=400 percnek kell eltelnie.

Ha rutinosabbak vagyunk, akkor vesszük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát:

lg(1000000)≤lg(2n-1), majd használjuk az azonosságot a jobb oldalon:
lg(1000000)≤(n-1)*lg(2), lg(1000000)=6, osztunk lg(2)-vel:
6/lg(2)≤n-1, kiszámoljuk számológéppel (lg(2) értékét mindenképp lefelé kerekítsük, de csak ésszel:
6/0,301≤n-1, elvégezzük az osztást:
19,93≤n-1, erre 20,93≤n adódik, tehát leghamarabb n=21-re érünk 1000000 fölé (ezt azért bizonyítani kell még, hogy n=21 jó, de n=20 még nem). A többi innen ugyanúgy megy.

A vége ilyen formában nem értelmezhető, valami lemaradt.